可微分多様体

可微分多様体とは

可微分多様体は、局所的には標準的な線型空間、具体的にはユークリッド空間のように振る舞う数学的な空間構造です。これにより、多様体上で微積分学の手法を適用することが可能になります。あらゆる多様体は、局所的な座標系を提供する「チャート」と呼ばれる写像の集まりと、それらをまとめた「アトラス」によって記述できます。各チャートの定義域は線型空間の開集合であるため、その範囲内では通常の微積分が適用できます。重要なのは、これらのチャートが適切に「両立」していること、すなわち、異なるチャートで記述された領域が重なる部分において、一方のチャートから他方のチャートへの座標変換が十分に滑らかであることです。この滑らかな変換によって、あるチャートで行われた微積分の計算が、他の滑らかなチャート上でも正当性を保ちます。これらの変換写像は特に「変換関数」と呼ばれます。

形式的には、可微分多様体は、全体として滑らかな性質（微分構造）を持つ位相多様体として定義されます。位相多様体には、局所的に線型空間への同相写像として定義されるチャートを用いて、局所的な微分構造を与えることができます。この局所的な構造から大域的な微分構造を誘導するためには、アトラスに含まれるチャート同士の共通部分における合成写像が、対応する線型空間上で微分可能である必要があります。つまり、重なり合う領域では、各チャートが定める座標が、アトラス内の全てのチャートが定める座標に関して微分可能であることが要求されます。これらの異なるチャートが定める座標系を結びつける写像が変換関数です。

微分可能性の階層

「微分可能」という言葉は、文脈に応じて様々な解釈を持ちます。連続微分可能（C¹級）、k回連続微分可能（Ck級）、無限回微分可能（滑らか、C∞級）、あるいは解析的（Cω級）、複素空間の場合は正則（双正則）などです。これにより、Ck級多様体、滑らかな多様体、解析的多様体、複素多様体といった異なるクラスの可微分多様体が定義されます。驚くべきことに、Ck構造（k > 0）はC∞構造と一意的に関連づけられるというホイットニーの結果があり、しばしば「可微分多様体」と「滑らかな多様体」は区別なく用いられることがあります。一方で、複素多様体は解析的な性質を持つため、より強い制約を受けます。

歴史的展望

微分幾何学という分野が明確な形をとるのは、カール・フリードリヒ・ガウスとベルンハルト・リーマンに遡ります。リーマンはゲッティンゲン大学での有名な講演で、多様体の概念を初めて提示しました。彼は、n次元空間における位置決定がn個の数値に還元されるという性質に多様体の本質を見出し、後の形式的な発展における座標系やチャートの役割を予見していました。

ジェームズ・クラーク・マクスウェルや、グレゴリオ・リッチ＝クルバストロ、トゥーリオ・レヴィ＝チヴィタといった物理学者や数学者の貢献は、テンソル解析の発展と、座標変換に対して不変な幾何学的性質に焦点を当てる共変性の概念を導きました。これらの考え方は、アインシュタインの一般相対性理論とその等価原理に不可欠なものでした。2次元多様体の現代的な定義は、ヘルマン・ワイルが1913年のリーマン面に関する著書で与え、アトラスを用いた多様体の一般的な定義は、後にハスラー・ホイットニーによって確立されました。

定義の詳細

可微分多様体の定義にはいくつかの同等なアプローチがあります。基本的なのは、位相多様体が出発点です。位相多様体は、局所的にユークリッド空間に同相な第二可算ハウスドルフ空間であり、チャートの集まりであるアトラスを持ちます。変換関数は、チャートの定義域の共通部分からユークリッド空間への写像を定義します。異なるアトラスが同じ多様体を表すことがあり、それらは互いに「両立可能」であるという同値関係によって結ばれ、この同値類が微分構造を定めます。

より抽象的な視点としては、関数や写像の特定のクラスからなる「擬群」や、多様体上の関数を扱う「構造層」を用いた定義があります。特に、代数幾何学の影響を受けた「局所環の層」を用いた定義では、各点の近傍における関数の芽の集合が局所環構造を持つという性質が、多様体の微分構造を特徴づけます。これらの抽象的な定義は、多様体上の様々な幾何学的対象（接空間、余接空間、ジェットなど）を座標系に依らずに記述することを可能にします。

多様体上の微積分

可微分多様体上でも、多変数微積分学の概念を自然に拡張して考えることができます。例えば、多様体上の実数値関数の微分可能性は、局所的なチャート上で通常の多変数関数として微分可能であることによって定義されます。この定義はチャートの選択に依存しません。また、多様体上の曲線を介して「方向微分」の概念を定義することができ、これは各点における「接ベクトル」と関連付けられます。接ベクトル全体の空間は「接空間」を構成し、多様体上の関数の微分は接空間上の線型写像として定義されます。

可微分多様体特有の重要なツールに「1の分割」があります。これは、多様体上の開被覆に従って定義される、台がコンパクトで局所有限な滑らかな関数の集まりであり、その総和が常に1になる性質を持ちます。1の分割を用いることで、局所的な構成（例えば積分）を大域的に拡張することが可能になります。

多様体間の写像についても、その微分可能性が定義できます。多様体間の写像の微分は、各点の接空間間の線型写像（接写像）を引き起こします。この接写像のランクによって、写像が「はめ込み」（immersion）、「埋め込み」（embedding）、または「沈めこみ」（submersion）であるかが分類され、多様体の幾何学的な構造や関係性を理解する上で重要です。

多様体上の微分演算としては、「リー微分」や「外微分」があります。リー微分はベクトル場やテンソル場の変化を記述し、多様体上のフローと関連が深いです。外微分法は、微分形式と呼ばれる対象を扱い、勾配、発散、回転といったベクトル解析の概念を一般化します。外微分によって定義される「ド・ラームコホモロジー」は、多様体の位相的な構造と微分構造を結びつけます。

束構造

可微分多様体上には、幾何学的に重要な様々な「束」（bundle）が定義されます。最も基本的なのは、各点における接空間を集めた「接束」と、その双対である余接空間を集めた「余接束」です。これらは多様体自身の構造を反映した、それ自体が可微分多様体となる空間です。接束は力学系におけるラグランジアンの定義域となり、余接束はハミルトニアンの定義域としてシンプレクティック構造を持ちます。これらを一般化した「テンソル束」や、各点における接空間の基底を集めた「枠束」、より高次の微分情報を含む「ジェット束」なども定義され、多様体上のテンソル場や微分作用素の研究に不可欠です。

位相多様体との関連と分類

1次元、2次元、3次元の位相多様体は、ほとんどの場合（微分同相を除いて）一意的な可微分構造を持つことが知られています。しかし、4次元以上の高次元多様体では、滑らかな構造を持たない位相多様体が存在したり（例: ケルヴェール多様体）、複数の微分同相でない滑らかな構造を持ちうる（例: ミルナーのエキゾチック7次元球面）ことが分かっています。

多様体の分類は次元によってその難易度が大きく異なります。1次元および2次元の多様体は比較的よく分類されています。3次元多様体も幾何化予想に関連して分類が進んでいます。しかし、4次元以上の多様体の分類は非常に難しく、一般には同相写像の違いを除いても分類が不可能であることが知られています。

可微分多様体上の構造

可微分多様体上に、更なる幾何学的な構造を付加することで、多様な空間を定義できます。例えば、接空間に内積構造を与えることで「リーマン多様体」となり、長さや角度といった距離的な概念が導入されます。計量に不定符号を許容する「擬リーマン多様体」は、一般相対性理論の時空モデルとして重要です。また、非退化な閉2形式（シンプレクティック形式）を持つ多様体は「シンプレクティック多様体」と呼ばれ、ハミルトン力学や数理物理学で重要な役割を果たします。多様体の構造が群演算と両立する「リー群」も、対称性を扱う上で不可欠な可微分多様体のクラスです。

これらの概念は、微分幾何学、代数トポロジー、数理物理学など、幅広い数学および物理学の分野において基礎的な枠組みを提供しています。

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