エディントンのイプシロン

エディントンのイプシロン

エディントンのイプシロン（Eddington's epsilon）は、数学において使用される記号の一つであり、交代記号やレヴィ＝チヴィタ記号としても知られています。この記号は、アーサー・エディントンとトゥーリオ・レヴィ＝チヴィタに由来しています。エディントンのイプシロンは、主にテンソル解析や物理学の分野で重要な役割を果たします。

定義

2階のエディントンのイプシロン

2階のエディントンのイプシロンは以下のように定義されます。

$$
ε_{ij} = \begin{cases}+1 & \text{if } (i, j) = (1, 2)\\-1 & \text{if } (i, j) = (2, 1)\\0 & \text{if } i = j\end{cases}
$$

このように、エディントンのイプシロンは、指定された添字の組に基づいて値を持ちます。この定義は、2×2の反対称行列として表現され、次のようになります。

$$
\begin{pmatrix}ε_{11} & ε_{12} \\ ε_{21} & ε_{22}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 1 \\ -1 & 0\end{pmatrix}
$$

2階におけるエディントンのイプシロンは、その応用において一般的ではないものの、超対称性理論やツイスター理論に関連する研究において重要な存在です。

3階のエディントンのイプシロン

3階の場合、添字i, j, kはそれぞれ1から3の値を取ります。次のように定義されます。

$$
ε_{ijk} = \begin{cases}1 & \text{if } (i, j, k) \text{は(1, 2, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2)}\\-1 & \text{if } (i, j, k) \text{は(1, 3, 2), (3, 2, 1), (2, 1, 3)}\\0 & \text{otherwise}\end{cases}
$$

また、符号関数sgnを用いた別の表現として、次のように表すことができます。

$$
ε_{ijk} = sgn(j - i) imes sgn(k - i) imes sgn(k - j)
$$

性質

エディントンのイプシロンにはいくつかの基本的な性質があります。例えば、三つの順番を入れ替えても結果が変わらない特性や、特定の添字の位置により符号が反転する特性があります。

$$
ε_{ijk} = ε_{jki} = ε_{kij} = -ε_{ikj} = -ε_{jik} = -ε_{kji}
$$

これにより、さまざまな操作や計算が簡略化され、物理的な問題や数理的な解析において重要です。

使用例

エディントンのイプシロンは、行列式やベクトル積、スカラー三重積の計算にも利用されています。例えば、3×3行列の行列式は、エディントンのイプシロンを用いて以下のように表現できます。

$$
\text{det} \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix} = \sum_{i, j, k} ε_{ijk} a_{i1} a_{j2} a_{k3}
$$

このように、エディントンのイプシロンは、数学や物理の多くの領域で基礎的かつ強力なツールとして位置付けられています。特に、高次元の一般化においても、それが持つ特性は多様な応用を可能にします。特に相対論的物理学において、その重要性が高まります。

高次への拡張

エディントンのイプシロンは、n次元への一般化も可能です。具体的には、nを任意の自然数とし、以下のように定義されます。

$$
ε_{i_1 i_2 hedots i_n} = \begin{cases}+1 & \text{(even)}\\-1 & \text{(odd)}\\0 & \text{(otherwise)}\end{cases}
$$

ここで、添字の順列が偶数や奇数の場合によってその値が決まります。このように、エディントンのイプシロンはさまざまな数学的構造や方程式に対して簡潔な表現を提供します。

結論

エディントンのイプシロンは、数学と物理学の両方において非常に重要な概念であり、テンソル解析や物理法則の表現において欠かせない存在です。特にテンソル密度の概念や高次元への拡張によって、さらなる研究や応用が期待されています。

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