エータ不変量

エータ不変量とその応用

数学の分野において、特に幾何学と解析の交差点に位置するエータ不変量は、コンパクト多様体上での自己随伴楕円型微分作用素に関連しています。この不変量は、形式的には正の固有値の数から負の固有値の数を引くことで得られます。しかし、実際の研究ではこれらの数が無限大になることが多く、ゼータ関数の正規化を用いてこのエータ不変量を定義します。

エータ不変量は、1970年代にMichael Francis Atiyah、V. K. Patodi、I. M. Singerにより初めて紹介されました。彼らはこの新たな不変量を使用し、境界を持つ多様体におけるヒルツェブルフの符号定理を拡張しました。この定理は、幾何的な性質を数理的に表現し、特定の条件下での多様体の性質を詳述します。

その後、1983年にはAtiyah、H. Donnelly、I. M. Singerが共同研究を行い、自己随伴作用素のエータ不変量を介して、コンパクトな奇数次元の滑らかな多様体に対するエータ不変量を定義しました。さらに、彼らは多様体の境界に現れる符号欠損がエータ不変量として表現されることを示しました。この研究によって、ヒルベルトモジュラー曲面のカスプ部分におけるヒルツェブルフの符号欠損が、清水のL-函数に関連付けられるという重要な成果が得られました。

定義と数式

エータ不変量は、自己随伴作用素Aに対して次のように定義されます。この場合、エータ不変量は B7A(0) で表されます。ここで、ηは次の式で表される関数です：

$$
η(s) = egin{cases} \\sum _{ ext{λ}
eq 0} rac{ ext{sign}(λ)}{| ext{λ}|^{s}} & \\ ext{で、λはAの非零の固有値} \\ ext{上を渡ります} \\ \\\end{cases}
$$

この関数は、非零の固有値に対する和を考慮し、その符号を重視して定義されます。解析接続を用いることで、sは一般的に複素数として扱われ、この考え方は多様体の性質を詳細に理解する手助けとなります。

参考文献と更なる研究

これらの研究の詳細は、以下の重要な文献に記載されています：
1. Atiyah, Michael Francis; Patodi, V. K.; Singer, I. M. (1973). “Spectral asymmetry and Riemannian geometry”. The Bulletin of the London Mathematical Society. DOI:10.1112/blms/5.2.229.
2. Atiyah, Michael Francis; Patodi, V. K.; Singer, I. M. (1975). “Spectral asymmetry and Riemannian geometry. I”. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. DOI:10.1017/S0305004100049410.
3. Atiyah, Michael Francis; Donnelly, H.; Singer, I. M. (1983). “Eta invariants, signature defects of cusps, and values of L-functions”. Annals of Mathematics. Second Series. DOI:10.2307/2006957.

エータ不変量は、幾何学や数理物理学における深い理論的基盤を提供し、多様体の特性を解析するための強力な道具として位置づけられています。

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