エーレンフェストの定理

エーレンフェストの定理：量子力学と古典力学の橋渡し

エーレンフェストの定理は、量子力学において非常に重要な定理の一つです。この定理は、量子力学的な系の時間発展を記述するシュレーディンガー方程式から、古典力学の運動方程式に類似した関係式を導き出せることを示しています。この定理によって、量子力学と古典力学の間に重要なつながりが存在することが明らかになり、両者の関係性を理解する上で非常に役立っています。

定理の主張

質量mの粒子がポテンシャルUの影響下にある系を考えます。この粒子の状態は波動関数ψ(r)で記述されるとします。ここでr = (x, y, z)は粒子の位置を表す座標です。

このとき、位置x, y, zの期待値⟨x⟩, ⟨y⟩, ⟨z⟩は、以下の式を満たします。

math
m
\frac{d^2}{dt^2}
\langle x
\rangle = - \left< \frac{\partial U}{\partial x} \right> \\
m
\frac{d^2}{dt^2}
\langle y
\rangle = - \left< \frac{\partial U}{\partial y} \right> \\
m
\frac{d^2}{dt^2}
\langle z
\rangle = - \left< \frac{\partial U}{\partial z} \right>


これらの式は、古典力学におけるニュートンの運動方程式と非常によく似ています。古典力学では、質量mの粒子の加速度は、ポテンシャルの勾配の負に比例しますが、エーレンフェストの定理では、この加速度が期待値⟨x⟩、⟨y⟩、⟨z⟩で置き換えられています。つまり、量子力学的な系の位置の期待値の時間変化は、ポテンシャルの期待値によって決定されるという関係を示しています。

ここで、期待値⟨A⟩は、通常量子力学で用いられる方法で計算されます。例えば、⟨x⟩は以下のように計算されます。

math
\langle x \rangle = \int \psi^(\mathbf{r}) x \psi(\mathbf{r}) d\mathbf{r}


他の期待値も同様の方法で計算できます。

定理の証明

エーレンフェストの定理の証明は、シュレーディンガー方程式と期待値の定義を用いて行われます。まず、位置の期待値の二階時間微分を計算します。

math
\frac{d^2}{dt^2} \langle \mathbf{r} \rangle = \frac{d^2}{dt^2} \int \psi^(\mathbf{r}, t) \mathbf{r} \psi(\mathbf{r}, t) d\mathbf{r}


この式にシュレーディンガー方程式を適用し、部分積分を用いた複雑な計算を行うことで、最終的に以下の式が導かれます。

math
m \frac{d^2}{dt^2} \langle \mathbf{r} \rangle = - \langle
abla U \rangle


この式は、定理の主張と一致しており、エーレンフェストの定理が証明されます。この証明には、波動関数の規格化と、波動関数が無限遠でゼロになるという条件が用いられます。

まとめ

エーレンフェストの定理は、量子力学と古典力学の対応関係を示す重要な定理であり、量子力学の理解に欠かせないものです。シュレーディンガー方程式から古典力学的な運動方程式に似た式が導かれるという事実は、量子力学と古典力学の間の深い関係を示唆しています。この定理は、量子力学の様々な分野で活用され、量子現象の解釈や理解に貢献しています。

関連項目

古典力学
シュレーディンガー方程式
* 期待値

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