規格化

波動関数の規格化：量子力学における確率解釈

量子力学において、粒子の状態は波動関数Ψで記述されます。この波動関数は、粒子が特定の位置に存在する確率振幅を表し、その絶対値の二乗|Ψ|²は、粒子がその位置に存在する確率密度を与えます。しかし、この確率密度は、全空間で積分すると1になるように規格化されている必要があります。なぜなら、粒子がどこかに存在する確率は必ず100%だからです。

規格化条件

波動関数の規格化とは、以下の条件を満たすことを意味します。

∫|Ψ|²dr = 1

ここで、積分は粒子が存在する全空間に対して行われます。この式は、全空間における確率密度の積分が1に等しいことを示しています。これは、粒子が必ずどこかの位置に存在するという確率の保存則を反映しています。

空間の境界条件によって積分範囲は変化します。例えば、周期境界条件が課せられた結晶格子では、単位胞内の積分が用いられます。

∫_(V_cell) |Ψ|²dr = 1

ここで、V_cellは単位胞の体積です。

時間依存性を持つ波動関数Ψ(r, t)についても同様の規格化条件が適用されます。

∫|Ψ(r, t)|²dr = 1

この式は、任意の時刻tにおいても、確率の総和が1となることを意味しています。|Ψ(r, t)|²drは、時刻tにおいて、粒子が位置rの微小領域drに存在する確率を表します。

デルタ関数による規格化

量子論では、自乗積分が無限大に発散するような波動関数も扱われます。例えば、平面波関数などはこれに当たります。このような場合、通常の規格化条件は適用できません。代わりに、デルタ関数による規格化が用いられます。

∫ψ_k(r,t)ψ_k'(r,t)dr = δ(k-k')

ここで、ψ_kはψ_kの複素共役であり、δ(k-k')はデルタ関数です。この式は、異なる波数kとk'を持つ平面波関数の積分が、kとk'が等しい場合のみ非ゼロとなり、その値は1であることを示しています。

この場合、|ψ_k(r,t)|²は確率密度ではなく、相対確率を表します。つまり、位置rにおける確率密度p(r,t)は、|ψ_k(r,t)|²に比例します。

p(r,t) ∝ |ψ_k(r,t)|²

まとめ

波動関数の規格化は、量子力学における確率解釈の基礎となる重要な概念です。規格化された波動関数は、粒子が存在する確率の総和が1になることを保証します。しかし、すべての波動関数が通常の方法で規格化できるとは限らず、デルタ関数などを用いた規格化も必要になる場合があります。これらの概念を理解することは、量子力学を理解する上で不可欠です。

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