差集合

差集合とは

差集合（さしゅうごう、英: set difference）とは、ある集合から別の集合に属する要素を取り除いて得られる集合のことです。例えば、集合Bから集合Aに属する要素を取り除いた集合を、B \ A と表記し、「BからAを引いた差」と呼びます。

定義

集合Bから集合Aの要素を取り除いてできる集合は、以下のように定義されます。

B \ A = { x | x ∈ B かつ x ∉ A }

これは、「Bに属していて、かつAに属さないすべてのx」からなる集合であることを意味します。この定義は、AとBの間に共通部分がない場合でも適用可能です。

また、差集合は一般に交換法則を満たしません。つまり、A \ B は B \ A と等しくないのが通常です。これらが等しくなるのは、AとBが完全に同じ集合である場合に限ります。

注意点

集合A, Bが加法「+」を持つ代数系（特に加法群）の部分集合である場合、B - A は集合 {b - a | a ∈ A, b ∈ B} と紛らわしいことがあります。この記法を使用する際は注意が必要です。

また、LaTeXで差集合を記述する際は、B \backslash A ではなく B \setminus A や B \smallsetminus A を用いることが推奨されます。

例

P = {1, 3, 5, 7, 9} (10以下の奇数の集合)
Q = {2, 3, 5, 7} (10以下の素数の集合)

この時、
P \ Q = {1, 9}
Q \ P = {2}

となります。

補集合とは

補集合とは、全体集合Uを固定したときに、その部分集合Aに対して、「UからAの要素を取り除いた集合」のことです。これをAの補集合と呼び、記号で Ac や ∁A, A̅ などで表します。文脈から全体集合Uが明らかな場合は、単に「補集合」と表現します。

補集合の性質

ある集合の補集合の補集合は、元の集合自身に戻ります。
自然数全体を全体集合とした場合、奇数全体の集合の補集合は偶数全体の集合になります。
実数全体を全体集合とした場合、有理数全体の集合の補集合は無理数全体の集合になります。

注意点

Pの補集合を P c で表す場合、Pが閉包を表す場合があるので注意が必要です。逆に、Pが補集合を表す文脈では、P c でPの閉包を表すことがあります。

ド・モルガンの法則

ド・モルガンの法則は、集合演算における重要な法則で、補集合と和集合、積集合の関係を示します。集合P, Qに対して、以下の関係が成り立ちます。

1. (P ∪ Q)c = Pc ∩ Qc
2. (P ∩ Q)c = Pc ∪ Qc

この法則は、集合の族{Pλ}λ∈Λに対しても一般化できます。

1. (⋃λ∈Λ Pλ)c = ⋂λ∈Λ Pλc
2. (⋂λ∈Λ Pλ)c = ⋃λ∈Λ Pλc

これらの法則は、論理記号の双対性を反映しています。

まとめ

差集合と補集合は、集合論において基本的な概念です。差集合は、ある集合から別の集合の要素を取り除く操作であり、補集合は、全体集合からある集合の要素を取り除く操作です。ド・モルガンの法則は、これらの概念を理解する上で重要なツールとなります。これらの概念を理解することで、より高度な数学的概念への理解が深まります。

関連項目

集合の代数学

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