カラビ予想

カラビ予想とは

カラビ予想（Calabi conjecture）は、1950年代にEugenio Calabiによって提起された数学の予想で、特定の複素多様体における「良好な」リーマン計量の存在を示唆しています。この問題は、複素多様体上にリッチ曲率が与えられたときに、一意的なケーラー計量が存在するかどうかに関わるものであり、その解決にはShing-Tung Yauによる1970年代の業績が大いに寄与しました。

カラビ予想の核心は、コンパクトケーラー多様体が、リッチ曲率とそのチャーン類に基づいて、どのように計量を持つかという点です。第一チャーン類がゼロのときには、リッチ曲率がゼロとなり、こうした多様体をカラビ・ヤウ多様体と呼びます。特に重要なのは、Calabiがこの予想を複素モンジュ・アンペール方程式に関連付け、この方程式が持つ解の一意性を示すことに成功した点です。

ケーラー・アインシュタイン計量との関係

カラビ予想には、ケーラー・アインシュタイン計量に関する予想とも深い関係があります。コンパクトケーラー多様体が持つ第一チャーン類が、負、ゼロ、正のいずれかの値を取る場合、対応するケーラー計量が存在することが示されています。特に、負のチャーン類については、T.オービンとヤウによる1976年の結果があります。一方で正の第一チャーン類に対する反例も発見され、ヤウはこの条件のもとでは唯一性が成立しないことを証明しました。

カラビ予想の証明

Yauは、複素モンジュ・アンペール方程式を用い、求められるケーラー計量が一意であることを示しました。連続法を使用し、シンプルな方程式から複雑な方程式への解法を示すことで、解を構築していきました。Yauのアプローチの一部は、高次の評価を用いた方法で、細かな解析を通じて解の存在と一意性を確認することに取り組みました。

この複素モンジュ・アンペール方程式は、特に非線形性が強いため解決が難しく、さまざまな数学的技法を駆使する必要があります。具体的には、カラビ予想を微分方程式の形に変換し、滑らかな関数の存在を避けられない形で示すことで、解の一意性と存在が論証されていきました。

結論

カラビ予想の解決により、リーマン計量の構築に関する理論が深化し、特にケーラー多様体の解析に新たな視点を提供しました。この研究は、数学の諸分野に影響を与え続けており、後の研究においても重要な役割を果たしています。結果として、Yauは1982年にフィールズ賞を受賞し、カラビ予想の解決が数学界に与えたインパクトを象徴する出来事となりました。

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