カラビ・ヤウ多様体

カラビ・ヤウ多様体

カラビ・ヤウ多様体は、代数幾何学や微分幾何学といった数学の分野において特有の性質を持つ多様体の一種です。特に、超弦理論においては、時空の余剰次元が6次元のカラビ・ヤウ多様体を形成すると考えられており、その性質が理論的な発展に寄与しています。

定義

カラビ・ヤウ多様体は、主に次のような等価な条件を満たすn次元のコンパクトなケーラー多様体Mとして定義されます。これらの条件のいくつかは:
1. Mの標準バンドルが自明である。
2. M上には、どこでもゼロにならない正則n形式が存在する。
3. Mの構造群がU(n)からSU(n)へと退化する。
4. M上にSU(n)を持つ大域的なホロノミーを持つケーラー計量が存在する。

これらの条件から、Mの第一チャーン類がゼロになることが導かれますが、逆に確実にそうなるわけではありません。カラビ・ヤウ多様体の最も簡単な例の一つは、超楕円曲面です。このような曲面では、整数係数の第一チャーン類はゼロですが、標準バンドルは自明ではありません。

さらに、コンパクトなn次元ケーラー多様体Mについては、次のような条件が互いに同値になりますが、上記の条件よりは弱い条件です:

• - Mの第一実チャーン類は0である。
• - Mはリッチ曲率がゼロのケーラー計量を持つ。
• - MはSU(n)に含まれる局所ホロノミーを持つケーラー計量を有する。
• - Mの標準バンドルは、ある正のべきで自明となる。
• - Mは自明な標準バンドルを持つ有限被覆を持つ。

このように、カラビ・ヤウ多様体の定義にはいくつかの形式がありますが、いずれも数学の美しさを引き立てる要素となっています。

応用

カラビ・ヤウ多様体は、特に物理学において重要な役割を果たしています。具体的には、弦理論において、弦のコンパクト化に関連してこの多様体がよく取り上げられます。弦理論では、通常の4次元の空間に加え、余剰な6次元の空間を持つことが期待されています。この余剰空間がカラビ・ヤウ多様体の形をしているとされています。

特に、フラックスのないカラビ・ヤウ多様体上でのコンパクト化は、元の超対称性の一部を保つため、特有の影響を与えます。これは、特定のホロノミーを持つ場合に限られ、さらなる物理的特性を生み出します。このような構造は、基本粒子の質量やその他の性質にも影響を与えることが示されています。

例として、カラビ・ヤウ多様体には、CPn+1の同次座標における同次n+2多項式の非特異なゼロ点からなる空間が含まれ、Komplexitätも高いです。これにより、すべての正の整数nに対して、カラビ・ヤウ多様体が得られます。

まとめ

全体として、カラビ・ヤウ多様体は、代数幾何学、微分幾何学、そして物理学における重要な構造を提供しています。これらの多様体は複雑で多様な性質を持ち、理論物理学の根幹に関わる要素となるため、引き続き研究の対象となっています。

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