ガロア拡大

ガロア拡大の概要

数学の分野において、ガロア拡大（Galois extension）とは、代数体の拡大において特定の条件を満たすものを指します。具体的には、体 E/F の代数拡大において、E が F に対して正規かつ分離的な性質を持つことが求められます。これは、ガロア群という自己同型群が存在し、ガロア理論の基本定理に従うことから、非常に重要な概念となっています。

ガロア拡大の定義

ガロア拡大は2つの視点で定義されます。一つは、E が F に対する代数拡大であり、自己同型群 Aut(E/F) の固定体がちょうど基礎体 F であることです。もう一つは、E/F が正規拡大かつ分離拡大であることです。この関係により、ガロア拡大はさまざまな数学の問題を解くための基盤を提供します。

ガロア拡大の特徴づけ

エミール・アルティンの定理によれば、有限拡大 E/F に対して、次のいくつかの特徴が同等にガロア拡大を示すことができます：

• - E/F が正規かつ分離的な拡大である。
• - E は、F に係数を持つ分離多項式の分解体である。
• - 自己同型の個数 |Aut(E/F)| が拡大の次数 [E:F] に等しい。

他にも、次のことが成り立ちます：

• - F[x] の既約多項式で E が少なくとも1つの根を持っている場合、すべての多項式が E 上で分解かつ分離的である。
• - |Aut(E/F)| が [E:F] 以上である。
• - F は Aut(E) の部分群の固定体である。
• - E/F の部分体と Aut(E/F) の部分群は1対1に対応する関係にある。

ガロア拡大の具体例

ガロア拡大の具体的な構成方法は、主に2つのアプローチから成り立っています。1つは与えられた体 E とその自己同型からなる有限群 G を考え、固定体を F とすることです。もう1つは任意の体 F とその分離多項式を考え、それに基づく分解体 E を形成することです。

例えば、有理数体に対して2の平方根を加えると、これはガロア拡大になります。対照的に、2の立方根を加える場合はガロア拡大とはならず、構造上の違いを示します。特に標数が0であるため、いずれの拡大も分離的であるという特徴があります。前者は二次多項式 x² - 2 の分解体であり、後者は1の虚立方根を持つ正規閉包にあたるものの、十分な性質を満たしません。

また、体 K の代数閉包 K は K に対してガロア拡大であることと、K が完備体であることは同値であることも注目に値します。

参考文献

• - Emil Artin (1998). Galois Theory. Dover Publications.
• - Jörg Bewersdorff (2006). Galois theory for beginners. American Mathematical Society.
• - Harold M. Edwards (1984). Galois Theory. Springer-Verlag.

ガロア拡大は数学的な理論づけを通じて、数の性質や構造を考える上で欠かせない要素となっています。これにより、拡大体の理解を進める手助けとなり、多くの数学分野の発展に寄与しています。

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