代数拡大

代数拡大 (Algebraic Extension)

抽象代数学における代数拡大（英: algebraic extension）とは、体の拡大 L/K が満たすある重要な性質を指します。具体的には、拡大体 L のすべての元 `a` が、基礎体 K の係数を持つゼロでない多項式の根となる場合に、拡大 L/K は代数的であると言われます。つまり、任意の `a` ∈ L に対して、K の要素を係数とする多項式 `p(x)` ∈ K[x] で、`p(a) = 0` かつ `p(x)` がゼロ多項式でないものが存在するということです。

この条件を満たさない拡大、すなわち、L の中に K 上代数的でない元（超越元）が存在する拡大は、「超越的拡大」(transcendental extension) と呼ばれます。例えば、実数体 R を有理数体 Q の拡大と見たとき、R/Q は超越的拡大です。円周率 `π` や自然対数の底 `e` といった超越数は Q 係数のゼロでない多項式の根にはなりません。一方、複素数体 C を実数体 R の拡大と見た C/R や、√2 を Q に添加して得られる体 Q(√2) を Q の拡大と見た Q(√2)/Q は代数的拡大です。複素数体の任意の元 `a+bi` (a, b ∈ R) は R[x] の `x^2 - 2ax + (a^2+b^2)` の根であり、Q(√2) の任意の元 `c+d√2` (c, d ∈ Q) は Q[x] の `x^2 - 2cx + (c^2 - 2d^2)` の根となるからです。

体の拡大 L/K の Kベクトル空間としての次元を拡大次数と呼びますが、全ての超越的拡大は無限次元であることが知られています。このことから、拡大次数が有限であるような拡大（有限次拡大）は、必ず代数的拡大となります。これは代数拡大の基本的な性質です。しかし、その逆は必ずしも真ではありません。無限次元の代数拡大も存在します。例えば、複素数体 C の中で有理数体 Q 上代数的であるような数全体からなる体 Q̄（代数的数体と呼ばれる）は、Q の無限次代数拡大です。

拡大体 L の個々の元 `a` に着目すると、もし `a` が基礎体 K 上代数的であるならば、`a` を K に添加して得られる集合 K[a]（`a` の K 係数多項式の値全体の集合）は、単なる環ではなく体となります。そして、この体 K[a] は K の有限次代数拡大となります。逆に、K[a] が体をなすならば、`a` は K 上代数的であることが証明できます。特に、K が有理数体 Q の場合、Q 上代数的な元 `a` に対して得られる体 Q[a] は代数体と呼ばれ、代数的整数論において重要な研究対象となります。

自分自身以外の非自明な代数拡大を持たない体を「代数的閉体」(algebraically closed field) と呼びます。複素数体 C は代数学の基本定理により代数的閉体の代表例です。また、任意の体 K に対して、K を含むような代数的閉体 E で、かつ E 自身が K の代数拡大になっているものが存在します。このような E を K の「代数的閉包」(algebraic closure) と呼びます。代数的閉包の存在とその（同型を除いた）一意性の証明には、集合論における選択公理（またはそれと同値なツォルンの補題）が一般に必要となります。

代数拡大の概念は、体の拡大の重要なクラスを形成し、いくつかの便利な性質を持ちます。

1. 推移性: 体の拡大 E/F が代数的であり、さらに F/K も代数的ならば、E/K 全体としても代数的拡大となります。
2. 合成: 共通のより大きな体 C の中に含まれる二つの代数拡大 E/K と F/K があった場合、これらの合成体 EF（EとFを含む最小の体）もまた K の代数拡大となります。
3. 塔: 体の列 E ⊃ K ⊃ F において E/F が代数的拡大ならば、中間の拡大 E/K も代数拡大となります。

これらの性質は、代数拡大の研究において非常に基本的な役割を果たします。

代数拡大の概念は、抽象的な代数学の枠を超え、モデル理論においても一般化されています。モデル理論では、ある構造 M の別の構造 N への埋め込みが代数拡大であるとは、N の任意の元 `x` に対し、M の要素をパラメータとするある論理式 `p` で、`p(x)` が真かつ `p` を満たす N の元全体からなる集合が有限であるようなものが存在する場合を指します。この定義は、体の理論に適用すると通常の代数拡大の定義と一致することが示されています。

関連項目

ガロワ拡大
分離拡大
正規拡大
整拡大
* 代数体

もう一度検索