クラマース・クローニッヒの関係式

クラマース・クローニッヒの関係式：実部と虚部の関係

クラマース・クローニッヒの関係式は、線形応答理論において重要な役割を果たす関係式です。この式は、系の周波数応答関数の実部と虚部が、ヒルベルト変換によって互いに結びついていることを示しています。1926年にクローニッヒ、1927年にクラマースによって、電磁波の分散現象の研究において独立に発見されました。

数式表現

周波数応答関数H(ω)を、実部HR(ω)と虚部HI(ω)で表すと、クラマース・クローニッヒの関係式は以下のようになります。

math
\begin{aligned}
H_{\text{R}}(\omega )&=\frac {1}{\pi }\mathcal {P}\int _{-\infty }^{\infty }\frac {H_{\text{I}}(\omega ')}{\omega '-\omega }d\omega '\\
H_{\text{I}}(\omega )&=-\frac {1}{\pi }\mathcal {P}\int _{-\infty }^{\infty }\frac {H_{\text{R}}(\omega ')}{\omega '-\omega }d\omega '\
\end{aligned}


ここで、Pはコーシーの主値積分を表します。この式は、周波数応答関数の虚部が分かれば実部が計算でき、逆に実部が分かれば虚部が計算できることを意味しています。

インパルス応答h(t)が常に実数であるという条件を加えると、実部HR(ω)は偶関数、虚部HI(ω)は奇関数になります。この性質を利用して、積分範囲を0から∞に変換することができます。

math
\begin{aligned}
H_{\text{R}}(\omega )&=\frac {2}{\pi }\mathcal {P}\int _{0}^{\infty }\frac {\omega 'H_{\text{I}}(\omega ')}{\omega '^2-\omega ^2}d\omega '\\
H_{\text{I}}(\omega )&=-\frac {2}{\pi }\mathcal {P}\int _{0}^{\infty }\frac {\omega H_{\text{R}}(\omega ')}{\omega '^2-\omega ^2}d\omega '\
\end{aligned}

因果律からの導出

クラマース・クローニッヒの関係式は、物理的な制約である因果律から導くことができます。因果律とは、原因が結果に先行するという原理です。線形応答系では、応答は刺激よりも前に起こることはありません。

インパルス応答h(t)を偶関数he(t)と奇関数ho(t)に分解し、フーリエ変換を用いることで、クラマース・クローニッヒの関係式を導出できます。因果律からt<0でh(t)=0となる条件を用いることで、実部と虚部の関係式が導かれます。

複素関数による導出

周波数応答関数H(ω)を複素平面に解析接続した関数H(z)を用いることで、クラマース・クローニッヒの関係式を導出することもできます。H(z)が実軸より上側で正則で、|z|→∞で一様にH(z)→0となる条件の下で、コーシーの積分定理を用いた複素積分により関係式が導出されます。

応用

クラマース・クローニッヒの関係式は、様々な分野で応用されています。特に、周波数応答関数の実部または虚部の一方から、もう一方を計算によって求めるクラマース・クローニッヒ解析は、実験データの解析に広く利用されています。

具体的には、以下の様な応用例があります。

誘電率・屈折率の測定: 固体の反射率測定から複素誘電率を求めることができます。
磁化率の測定: フーリエ変換核磁気共鳴分光法において、スペクトルの分解能向上に用いられます。
* 弾性率の測定: 複素弾性率の解析に用いられます。

クラマース・クローニッヒの関係式は、線形応答理論における基礎的な関係式であり、その応用範囲は非常に広いです。今後も様々な分野での活用が期待されます。

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