グラフ (関数)

関数のグラフとは

関数のグラフは、関数を視覚的に表現したものです。直感的には、平面内の曲線や空間内の曲面として理解できます。形式的には、関数 f のグラフは、順序対 (x, f(x)) の集合として定義されます。

定義

集合 A から集合 B への関数 f があるとき、f のグラフは直積集合 A × B の部分[[集合]]として表されます。


{(x, f(x)) | x ∈ A}


逆に、A × B の部分[[集合]] G が特定の条件を満たす場合、G をグラフとする A から B への関数 f が一意に定まります。

具体例

例1

関数 f(x) が以下のように定義されているとします。


f(x) = {
2 (x = a),
0 (x = b),
-1 (x = c)
}


この関数のグラフは {(a, 2), (b, 0), (c, -1)} となります。

例2

実数上の三次関数 f(x) = x³ - 9x のグラフは、座標平面上で (x, x³ - 9x) をプロットすることで得られる曲線です。

例3

実数上の2変数関数 f(x, y) = x² - y² のグラフは、座標空間内で (x, y, x² - y²) をプロットすることで得られる曲面です。

グラフを描画できない例

ディリクレの関数のように、グラフを描画することが難しい関数も存在します。ディリクレの関数は、有理数に対しては 1 を、無理数に対しては 0 を対応させる関数です。この関数のグラフは、2本の平行な直線のように見えますが、実際には無数の穴が存在するため、正確に描画することは不可能です。

関数の性質とグラフの特徴

関数のグラフは、その関数の性質を反映しています。

関数の定義・全射性・単射性

x 軸に垂直な直線は、関数のグラフと必ず1点で交わります。一方、y 軸に垂直な直線との交わり方は、関数の全射性や単射性と関係があります。

常に交わる ⇔ 関数は全射
常に1回以下である ⇔ 関数は単射
常にちょうど1回である ⇔ 関数は全単射

連続性

関数 f が x = a で連続であるとは、グラフが (a, f(a)) の周辺で「つながっている」ということです。ただし、数学的な連続性の定義は厳密であり、直感的に分かりにくい例も存在します。

微分可能性

関数 f が x = a で微分可能であるとは、グラフが (a, f(a)) の周辺で「滑らか」であり、その点における接線が描けるということです。微分可能ならば連続ですが、逆は必ずしも成り立ちません。

陰関数のグラフ

陰関数表示されたグラフは、y = ±√... の形の陽関数にして描画します。対称性を見つけることで、計算を効率化できます。

まとめ

関数のグラフは、関数を視覚的に理解するための強力なツールです。グラフを見ることで、関数の性質や特徴を直感的に把握することができます。

参考文献

Weisstein, Eric W. "Function Graph". mathworld.wolfram.com (英語).

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