グリフィスの定理

グリフィスの定理

グリフィスの定理は、19世紀のイギリスの数学者ジョン・グリフィスが1857年に発見した、三角形に関する初等幾何学の重要な定理です。この定理は、三角形の特定の中心点である外心と、それを通る直線、そしてその直線上の点から派生する図形の間に成り立つ、興味深い幾何学的性質を明らかにします。

定理の内容

グリフィスの定理の核心的な内容は、以下の通りです。任意の三角形に対して、その外心を通る任意の直線を選びます。そして、この直線上の任意の点Pを取り上げます。点Pから三角形の各辺、あるいはその延長線上に垂線を下ろしたとき、これら三つの垂線の足は必ず一つの円周上に位置します。この円を、点Pに関する三角形の垂足円と呼びます。

グリフィスの定理の主張は、外心を通る直線上のどのような点を選んで垂足円を作成しても、その垂足円は常に、三角形の九点円上の特定の一つの定点を通るということです。この特別な定点は、選ばれた直線に対するグリフィス点と呼ばれます。ただし、三角形幾何学において他の文脈で言及されるグリフィス点（例えばX1373, X1374など）とは通常区別されます。

歴史

この定理は、ジョン・グリフィスによって1857年に発見され、発表されました。しかし、当時の数学界においてすぐさま広く認識されたわけではなかったようです。その後、この定理は複数の数学者によって独立に、あるいは過去の研究を見直す中で再発見されました。具体的には、1880年にヴェイユが、1889年にW. S. マッケイが、そして1906年にはフランスの著名な幾何学者ジョルジュ・フォントネーがこの定理を再び見出しました。フォントネーによる再発見があったことから、この定理は現在でも第二フォントネーの定理という別名で知られることがあります。このように複数の数学者によって時を経て繰り返し見出されたことは、定理自体の持つ普遍的な重要性や美しさを示唆していると言えるでしょう。

一般化

グリフィスの定理は、その後の研究によってさらに一般的な形で捉え直され、拡張されました。特に、1904年にはギリシャの幾何学者ティモレオン・ルモワーヌが、より広い範囲に適用可能なルモワーヌの定理を示しました。ルモワーヌの定理は、三角形の外心を通る直線に限らず、任意の直線上の点から作られる垂足円の集合が、ある共通の性質を持つことを明らかにしました。それは、それらの垂足円がすべて共軸である、すなわち、ある固定された円に直交するという性質です。この固定された円は、元の直線に対する直極円と呼ばれます。

ルモワーヌの定理において、もし元の直線が特別な場合として三角形の外心を通る場合を考えると、その直線に対する直極円は一点に退化します。円が点に退化するという幾何学的な状況は、それに直交するすべての円がその退化した点を通ることを意味します。したがって、ルモワーヌの定理の特別な場合として、グリフィスの定理（外心を通る直線上の点の垂足円は定点を通る）が導かれるのです。さらに、1912年にはV・ラマスワミ・エイヤール、1920年にはラウル・ブリカールといった数学者たちによって、グリフィスの定理やルモワーヌの定理のさらなる一般化が探求され、証明が与えられています。

関連概念

グリフィスの定理およびその一般化は、三角形幾何学や関連分野における他の多くの概念と深く関連しています。

垂心
外接円錐曲線
シムソンの定理
ポンスレ束

これらの関連は、グリフィスの定理がより広範な幾何学的構造の一部であることを示しています。

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