グリーンの定理

グリーンの定理：2次元と3次元の関係

グリーンの定理は、イギリスの物理学者ジョージ・グリーンによって導き出されたベクトル解析の定理です。実は、この名称で呼ばれる定理は2種類存在します。1つは平面（2次元）における線積分と面積積分の関係を示す定理、もう1つは3次元空間における体積積分と面積積分の関係を示す定理です。それぞれ詳しく見ていきましょう。

グリーンの定理（2次元）

2次元グリーンの定理は、閉曲線で囲まれた領域における線積分と二重積分の関係を記述する強力なツールです。この定理は、ストークスの定理というより一般的な定理の特別な場合とみなすことができます。

公式

閉曲線Cで囲まれた領域Dにおいて、C1級関数P(x,y)とQ(x,y)について、以下の関係が成り立ちます。

∫_CPdx + Qdy = ∬_D(∂Q/∂x - ∂P/∂y)dxdy

この式は、関数PとQの閉曲線Cに沿った線積分が、その外微分の領域D上での二重積分と等しいことを示しています。

定理の成立条件

領域と境界の条件: 領域Dは、境界が区分的に滑らかな単一閉曲線である単連結領域だけでなく、多重連結領域にも拡張できます。多重連結領域の場合、境界となる閉曲線の向きに注意が必要です。
関数の連続微分可能性: 定理の適用には、PとQがそれぞれyとxについて1回連続微分可能であることが一般的に仮定されます。しかし、より精密な条件として、∂Q/∂xと∂P/∂yが存在し、その差が連続であれば十分であることが知られています。

一般化されたストークスの定理との関係

グリーンの定理は、一般化されたストークスの定理の特別な場合として理解できます。2次元空間における1次微分形式ω = Pdx + Qdyについて、ストークスの定理は次のように表されます。

∫_∂Dω = ∬_Ddω

ここで、dωはωの外微分であり、dω = (∂Q/∂x - ∂P/∂y)dx∧dy となります。これは、グリーンの定理の公式と一致しています。

グリーンの定理の応用

グリーンの定理は、様々な分野で応用されています。代表的なものとして、以下の例が挙げられます。

面積の計算: グリーンの定理を用いることで、平面上の領域の面積を、その境界に沿った線積分によって計算することができます。これは、プラニメータという面積計測機器にも応用されています。

コーシーの積分[[定理]]の証明: 複素関数論において重要なコーシーの積分[[定理]]（正則関数の閉曲線上での積分が0になる定理）を証明する際に、グリーンの定理が重要な役割を果たします。

グリーンの定理（3次元）

3次元グリーンの定理は、ラプラシアンを含む体積積分を、境界上の面積積分に置き換える公式です。2次元版と異なり、線積分は含まれません。

公式

3次元空間内の領域Dと、2階微分可能なスカラー場φ、ψについて、以下の関係が成り立ちます。

∬_∂D(φ∇ψ - ψ∇φ)・n dS = ∫∫∫_D(φ∇²ψ - ψ∇²φ)dV

この公式は、発散定理を用いて導出することができます。

まとめ

グリーンの定理は、2次元と3次元という異なる次元でそれぞれ重要な役割を果たす定理です。2次元グリーンの定理は線積分と面積積分の関係を示し、面積計算やコーシーの積分[[定理]]の証明に役立ちます。一方、3次元グリーンの定理は体積積分と面積積分の関係を示し、より複雑な物理現象の解析に利用されます。どちらの定理も、ベクトル解析における基本的な定理であり、様々な分野で応用されています。

もう一度検索