外微分

外微分：多次元空間における微分の拡張

外微分は、関数の微分の概念を、高次の微分形式へと一般化した強力な数学的ツールです。単なる関数の微分を超え、多次元空間における微小な領域を通る「流れ」を測る概念として捉えることができます。エリ・カルタンによって体系化された外微分は、ベクトル解析における基本定理であるストークスの定理、ガウスの定理、グリーンの定理を、距離に依存しない自然な形で統一的に説明する枠組みを提供します。

外微分の定義

k次微分形式ωの外微分dωは、k+1次微分形式となります。

関数(0形式)の場合: 滑らかな関数f(0-形式)に対して、外微分dfはfの全微分と一致します。これは、任意のベクトル場Xに対して、df(X) = Xf (X方向へのfの方向微分)を満たす一意的な1-形式として定義されます。

一般のk形式の場合: 外微分dは、以下の性質を満たすR-線型写像として定義されます。
1. 滑らかな関数fに対して、d(f) = df (fの微分)
2. 任意のk形式αに対して、d(dα) = 0 (d² = 0)
3. k形式αとl形式βに対して、d(α∧β) = dα∧β + (-1)^k(α∧dβ) (外積代数上の反微分)

これらの性質から、外微分は一意的に定まります。

局所座標系を用いた定義

局所座標系(x¹, ..., xⁿ)を用いると、外微分はより具体的な形で記述できます。まず、座標微分形式dx¹, ..., dxⁿは、1-形式の基底を成します。単純k形式φ = f dx¹∧...∧dxᵏ の外微分は、

dφ = Σᵢ (∂f/∂xⁱ) dxⁱ ∧ dx¹∧...∧dxᵏ

と表されます。一般のk形式は単純k形式の和で表せるため、外微分の定義は線形に拡張されます。

不変公式による定義

座標系によらない、不変的な定義も存在します。k形式ωの外微分dωは、k+1個のベクトル場V₀, ..., Vₖに対して、以下の式で与えられます。

dω(V₀, ..., Vₖ) = Σᵢ (-1)ⁱ Vᵢ(ω(V₀, ..., ∧Vᵢ, ..., Vₖ)) + Σᵢ<ⱼ (-1)ⁱ⁺ʲ ω([Vᵢ, Vⱼ], V₀, ..., ∧Vᵢ, ..., ∧Vⱼ, ..., Vₖ)

ここで、[Vᵢ, Vⱼ]はリーブラケット、∧はベクトル場を取り除くことを表します。特に、1形式に対しては、dω(X, Y) = Xω(Y) - Yω(X) - ω([X, Y])となります。

多様体上のストークスの定理

外微分を用いると、ストークスの定理をより一般的に記述できます。Mを境界∂Mを持つコンパクトなn次元多様体、ωをM上の(n-1)形式とするとき、一般化されたストークスの定理は

∫ₘ dω = ∫∂ₘ ω

となります。これは、Mを微小な領域に分割し、各領域の境界における流れを足し合わせることで、内部の境界が打ち消し合い、最終的に∂Mにおける流れが残ることを意味しています。

閉形式と完全形式

閉形式: dω = 0 を満たすk形式ω
完全形式: ω = dα を満たすk形式ω(αは(k-1)形式)

d² = 0 より、完全形式は常に閉形式です。ポアンカレの補題は、可縮な領域ではその逆も成り立つことを示しています。

ベクトル解析との関係

ベクトル解析の重要な演算子である勾配、発散、回転は、外微分の特別な場合として理解できます。

勾配: 関数fの勾配∇fは、外微分dfに対応します。
発散: ベクトル場Vの発散div(V)は、Vに対応する(n-1)形式の外微分として得られます。
* 回転: ベクトル場Vの回転rot(V)は、Vに対応する1形式の外微分として得られます(3次元の場合)。

これらの演算子は、外微分を用いることで、座標系に依存しない形で記述できます。

まとめ

外微分は、微分形式の微分演算として、関数の微分の概念を多次元空間へ拡張したものです。ベクトル解析の基本定理を統一的に記述し、幾何学的な意味付けを与えると共に、ド・ラームコホモロジーといった高度な概念への基礎も提供します。その自然性と普遍性から、数学、物理学の様々な分野で重要な役割を果たしています。

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