ケイリー・ハミルトンの定理

ケイリー・ハミルトンの定理：概要と応用

ケイリー・ハミルトンの定理は、線形代数学における重要な定理であり、正方行列とその固有多項式の間の関係性を記述しています。この定理によれば、任意の正方行列は、その固有多項式を満たすというものです。この一見単純な定理は、行列の冪乗の計算、行列式や逆行列の導出、さらに行列関数の扱いなど、線形代数やその関連分野において多くの応用を持ちます。

定理の主張

n次正方行列Aに対し、その固有多項式p(λ)を

`p(λ) = det(λIn - A)`

と定義します。ここで、Inはn次単位行列、detは行列式を表します。ケイリー・ハミルトンの定理は、この固有多項式p(λ)において、変数λを行列Aに置き換えたとき、

`p(A) = 0`

が成り立つことを主張しています。ここで、0はn次零行列です。λの冪乗は、行列Aの冪乗に置き換えられます。

証明

ケイリー・ハミルトンの定理の証明方法はいくつか存在し、それぞれ異なるアプローチを取ります。代表的な証明方法として以下の3つを紹介します。

1. 三角化による証明: この証明は、行列を上三角行列に変換することで、固有多項式の性質を利用して定理を証明します。行列の相似変換を用いて上三角行列に変換し、その行列の固有方程式を直接計算することで定理が示されます。

2. 単因子論による証明: この証明は、行列の単因子標準形を用います。単因子標準形は、行列を対角行列に相似変換した形で、その対角成分が単因子と呼ばれます。固有多項式と最小多項式との関係を用いて証明されます。この証明は、比較的簡潔で、より深い数学的構造を理解する上で役立ちます。

3. 余因子行列による証明: この証明は、行列の余因子行列を用いて、固有多項式と行列の関係を導出します。余因子行列の性質から得られる恒等式を用いて、固有方程式が成り立つことを示します。この証明は、行列の代数的な性質を直接的に利用し、計算に重点を置いたアプローチとなります。

これらの証明方法は、いずれも線形代数の基本的な知識を必要としますが、それぞれの証明方法は異なる視点から定理の理解を深めるのに役立ちます。

応用

ケイリー・ハミルトンの定理は、以下の様な様々な場面で応用されます。

1. 行列の冪乗の計算: 高次の行列の冪乗を計算するのは一般に複雑ですが、この定理を用いることで、より低次の行列の冪乗の線形結合で表現できるため、計算を簡略化できます。

2. 行列式と逆行列の計算: 行列式は固有多項式の定数項であり、逆行列は固有多項式から計算できます。

3. 行列関数の計算: 指数関数、三角関数など、様々な行列関数を、行列の低次の多項式で表現することができます。

4. 最小多項式の性質: 体上の正方行列の場合、ケイリー・ハミルトンの定理は「最小多項式が固有多項式を割り切る」という主張と同値です。最小多項式は、行列の性質を決定付ける上で非常に重要な役割を果たします。

5. 代数的数論: 代数的数の最小多項式の計算においても有用です。

誤った証明への注意

ケイリー・ハミルトンの定理の証明において、固有多項式 `p(λ)` の `λ` に直接行列 `A` を代入して証明しようとするのは誤りです。これは、行列式を計算する前に変数を代入すると、行列式の定義が成り立たなくなるためです。正しい証明は、行列の性質を深く理解した上で、適切な手法を用いる必要があります。

まとめ

ケイリー・ハミルトンの定理は、一見単純な定理ですが、その背後には豊かな数学的構造が存在し、線形代数における様々な問題を解決する上で強力なツールとなります。この定理の理解を深めることは、線形代数のより高度な概念を理解する上で不可欠です。

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