固有多項式

固有多項式：線形変換の特性を解き明かす多項式

線形代数学において、固有多項式は、有限次元線形空間における線形変換の重要な特性を示す多項式です。特に正方行列に対して定義され、その行列の固有値を決定する上で不可欠な役割を果たします。

固有多項式の導出：固有値問題からの出発

n次正方行列Aに対して、Ax = λx を満たすスカラーλとベクトルx(x≠0)が存在する場合、λをAの固有値、xをλに関する固有ベクトルと呼びます。全ての固有値を求めるには、上記の式を変形し、(λI - A)x = 0 とします。ここで、Iは単位行列です。この式が非自明な解(x≠0)を持つ条件は、行列 (λI - A) の行列式が0となること、つまり det(λI - A) = 0 です。この式はλに関するn次方程式となり、これを固有方程式または特性方程式と呼びます。

固有多項式の定義

体K(例えば実数体や複素数体)の元を成分とするn次正方行列Aに対して、固有多項式 pA(t) は以下のように定義されます。

pA(t) = det(tI - A)

ここで、tは変数、Iは単位行列です。p_A(t) = det(A - tI) と定義される場合もありますが、nが奇数のときに符号が異なるだけで、本質的な違いはありません。

固有多項式の例：2次正方行列の場合

以下の2次正方行列Aの固有値を求める例を考えます。

A = 3, -2], [1, 0

固有多項式 pA(t) は以下のようになります。

pA(t) = det(tI - A) = det(t-3, 2], [-1, t) = (t-3)t - 2(-1) = t² - 3t + 2 = (t-1)(t-2)

よって、Aの固有値は1と2となります。

固有多項式の性質

固有多項式は、行列の重要な性質を反映しています。主な性質は以下の通りです。

固有値との関係: 固有多項式pA(t)の根は、行列Aの固有値(重複度込み)と一致します。
行列式とトレースとの関係: 固有多項式の定数項は (-1)^n det(A) 、t^(n-1)の係数は -tr(A) となります。ここで、det(A)は行列式、tr(A)はトレースです。
ケイリー・ハミルトンの定理: 固有多項式においてtをAに置き換えた行列 pA(A) は零行列になります。つまり、pA(A) = 0 です。この定理から、Aの最小多項式はpA(t)を割り切ることが分かります。
相似な行列: 相似な行列は同じ固有多項式を持ちます。しかし、逆は必ずしも成り立ちません。
転置行列: 行列Aとその転置行列は同じ固有多項式を持ちます。
三角行列への相似変換: 行列Aが三角行列に相似であることと、体K上で固有多項式が一次式の積に分解することは同値です。
* 2行列の積: n次正方行列A, Bについて、ABとBAの固有多項式は一致します。つまり、pAB(t) = pBA(t) です。

グラフ理論への応用

グラフ理論において、グラフの隣接行列の固有多項式は、グラフの不変量となります。つまり、同型なグラフは同じ固有多項式を持ちます。この性質を利用することで、グラフの同型性の判定などに利用されます。

まとめ

固有多項式は、線形変換や正方行列の固有値を求めるための強力なツールであり、行列式、トレース、最小多項式といった他の重要な概念とも深く関連しています。その性質を理解することで、線形代数学における様々な問題を解決する上で役立ちます。さらに、グラフ理論など他の分野への応用も広く見られます。

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