ケーラー微分

ケーラー微分

概要

数学におけるケーラー微分（Kähler differential）は、可換環やスキームといった抽象的な対象の上で、微分形式に類似した概念を定式化し、その応用を可能にするための重要な数学的概念です。この概念は、通常の解析的な微分手法が直接適用できない代数的な状況、特に可換環論や代数幾何学において、標準的なツールとして確立しています。

歴史

この概念は、1930年代に数学者のエーリッヒ・ケーラーによって提唱されました。当初は複素多様体上の幾何学との関連で考えられていましたが、やがて、微分積分学の手法をより一般的な代数的な構造の上に応用したいという要望に応える形で発展し、現在では代数幾何学や代数的整数論の基礎的な概念の一つとなっています。

定義

可換環 R から可換環 S への環準同型 φ: R → S が与えられた状況を考えます。S 上の R-線型導分とは、S からある S-加群 M への R-加群準同型 d: S → M で、R の元の像がゼロ（正確には d(φ(r)) = 0）であり、かつ積に関するライプニッツ則 d(st) = s dt + t ds を満たすものです。

S の ケーラー微分の加群 ΩS/R は、このような R-線型導分の中で最も「普遍的」なものとして定義される S-加群です。具体的には、普遍的な R-線型導分 d: S → ΩS/R が存在し、他の任意の S 上の R-線型導分 d': S → M は、d とある一意的な S-加群準同型 h: ΩS/R → M の合成 d' = h ◦ d として表現できます。

構成法

ΩS/R を構成する方法はいくつか知られています。

一つの代表的な方法は、S の各元 s に対応する形式的な記号 ds を生成元として、以下の基本的な関係式によって定まる S-加群を考えるものです。

R の任意の元 r について、dr = 0。
和と積についてライプニッツ則の線型版が成り立つ：d(s + t) = ds + dt、d(st) = s dt + t ds。

これらの関係式から自由に生成される S-加群が ΩS/R となり、写像 s ↦ ds が普遍的な導分 d を与えます。

別の構成法として、テンソル積 S⊗RS を用いるものがあります。このテンソル積から S への積写像（s⊗t ↦ st）の核となるイデアルを I とするとき、ΩS/R は剰余加群 I/I² として定義できます。この構成は、代数幾何学におけるスキームの「無限小近傍」といった概念と関連が深く、より幾何学的な見方を提供します。

普遍性と応用への繋がり

ケーラー微分の加群 ΩS/R が持つ普遍性は、代数的な微分概念を様々な文脈に適用するための鍵となります。この普遍性により、S から任意の S-加群 M へのR-線型導分全体の集合 DerR(S, M) と、ΩS/R から M へのS-加群準同型全体の集合 HomS(ΩS/R, M) の間に、自然なS-加群の同型 DerR(S, M) ≅ HomS(ΩS/R, M) が成り立ちます。これは、ΩS/R が事実上、すべてのR-線型導分を「表現」していることを意味します。

高次形式と層

ケーラー微分は、より高次のケーラー p-形式 ΩpS/R へと拡張されます。これは、ΩS/R の S 上での p-次外積によって定義されます。これらの形式は、環の局所化と良い整合性を持つため、代数幾何学においてスキーム上の相対ケーラー微分形式の層という形で導入され、局所的な微分構造を調べるための重要なツールとなります。

具体的な応用例

代数幾何学における利用

代数幾何学において、ケーラー微分の加群およびその層は、多様体（スキーム）の接空間や余接空間といった幾何学的な不変量を代数的に定義する基礎となります。普遍性から得られる導分と準同型の対応は、代数多様体上のベクトル場や微分形式を代数的に扱う上で中心的な役割を果たします。

代数的整数論における利用

代数的整数論では、代数体の拡大における分岐現象の解析にケーラー微分が応用されます。有限次拡大 L/K とその整数環 O/o に対して、拡大の分岐情報を表す重要な概念である差積イデアル δL/K は、O-加群であるケーラー微分の加群 ΩO/o の零化イデアルとして定義されます。すなわち、δL/K は {x ∈ O : x dy = 0 が O の全ての元 y について成り立つ} という集合に等しくなります。このように、ケーラー微分は数論的な情報も捉えることができます。

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