環準同型

環準同型 (Ring Homomorphism)

環論および抽象代数学の分野において、「環準同型」は、二つの環の代数的構造をそのまま写し保つような特別な関数のことを指します。具体的には、二つの環 R と S が与えられたとき、関数 `f : R → S` が環準同型であるとは、以下の条件をすべて満たすことを言います。

1. 加法の保存: R の任意の元 `a` と `b` に対して、`f(a + b) = f(a) + f(b)` が成り立つ。
2. 乗法の保存: R の任意の元 `a` と `b` に対して、`f(ab) = f(a) f(b)` が成り立つ。
3. 単位元の保存: R の乗法単位元 `1R` を、S の乗法単位元 `1S` に写す。すなわち、`f(1R) = 1S` が成り立つ。

なお、加法の単位元 (ゼロ元) や加法の逆元に関する性質 `f(0R) = 0S` や `f(-a) = -f(a)` は、上記の1番目の条件から自然に導かれます。ただし、3番目の単位元の条件は重要であり、これを課さないと多くの性質が成り立たなくなります。単位元を持たない代数系である「rng（擬環）」の間の構造を保つ関数は「rng準同型」と呼ばれ、これは上記の1番目と2番目の条件のみを満たすものとして定義されます。

基本的な性質

環準同型 `f : R → S` は、その定義から以下のような様々な有用な性質を持ちます。

環 R の加法単位元 `0R` は、環 S の加法単位元 `0S` に写されます (`f(0R) = 0S`)。
R の任意の元 `a` に対し、その加法逆元 `-a` は `-f(a)` に写されます (`f(-a) = -f(a)`)。
R の単元（乗法逆元を持つ元）`a` は、S における単元 `f(a)` に写されます。このとき、`f(a⁻¹) = f(a)⁻¹` が成り立ちます。これは、R の単元全体がなす乗法群から S の単元全体がなす乗法群への群準同型を誘導することを意味します。
環準同型の像 `im(f) = {f(a) | a ∈ R}` は、環 S の部分環になります。
環準同型の核 `ker(f) = {a ∈ R | f(a) = 0S}` は、環 R のイデアルになります。可換環の場合、すべてのイデアルは何らかの環準同型の核として表すことができます。
環準同型 `f` が単射であることと、その核が R のゼロ元のみからなること (`ker(f) = {0R}`) は同値です。
`f` が全単射である場合、その逆写像 `f⁻¹ : S → R` もまた環準同型になります。このような準同型を「同型写像 (isomorphism)」と呼び、二つの環 R と S は「同型である (isomorphic)」と言います。同型な環は、環論的な性質において本質的に同じものと見なされます。
環準同型 `f : R → S` が存在すれば、S の標数は R の標数を割り切ります。これは、ある環の間には環準同型が存在しない可能性を示唆します。
R が体であり、S が零環でないならば、環準同型 `f` は常に単射になります。
R と S がともに体である場合、像 `im(f)` は S の部分体になります。この観点から、S は R の体拡大と見なせます。
R と S が可換環で、S が整域である場合、核 `ker(f)` は R の素イデアルになります。
R と S が可換環で、S が体であり、`f` が全射である場合、核 `ker(f)` は R の極大イデアルになります。

圏論的視点

環準同型は、環と環の間の構造を保つ写像として、圏論における「射」の役割を果たします。すべての環を対象とし、それらの間の環準同型を射とすることで、「環の圏 (Category of Rings)」が構成されます。

二つの環準同型の合成は、再び環準同型になります。
任意の環 R に対する恒等写像 `id_R : R → R` は環準同型です。
整数環 Z は環の圏における「始対象」です。これは、任意の環 R に対して、Z から R への環準同型がただ一つだけ存在することを意味します。
零環（唯一の元0からなる環）0 は環の圏における「終対象」です。これは、任意の環 R から 0 への環準同型がただ一つだけ存在することを意味します。

関連概念

環自己準同型 (Ring Endomorphism): 環から自分自身への環準同型です。
環同型 (Ring Isomorphism): 前述の通り、全単射な環準同型であり、逆写像も環準同型になるものです。同型な環は環論的には区別されません。
環自己同型 (Ring Automorphism): 環から自分自身への環同型です。

単射準同型と全射準同型

環準同型が単射であることは、環の圏におけるモノ射 (monomorphism) であることと同値です。しかし、全射環準同型は環の圏におけるエピ射 (epimorphism) とは異なります。例えば、整数環 Z から有理数体 Q への包含写像 `Z ⊆ Q` は環準同型であり、エピ射ですが全射ではありません。

具体例

整数環 Z から剰余環 Z_n への写像 `f(a) = a mod n` は全射環準同型であり、その核は `nZ` です。
複素数体 C における複素共役の写像 `z → z̄` は環自己同型の例です。
実数係数多項式環 R[X] から複素数体 C への写像 `f(p(X)) = p(i)`（多項式 `p(X)` に虚数単位 `i` を代入）は全射環準同型です。その核は、`X² + 1` で割り切れるすべての多項式の集合です。

環準同型の概念は、環論だけでなく、代数幾何学、数論、圏論など、数学の様々な分野で基礎的かつ重要な役割を果たしています。

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