ゲルシュゴリンの定理

ゲルシュゴリンの定理：正方行列の固有値の近似解法

ゲルシュゴリンの定理は、正方行列の固有値のおおよその位置を特定するための強力なツールです。1931年にソ連の数学者セミョン・ゲルシュゴリンによって発表され、現在では数値計算において精度保証付き計算など、様々な場面で活用されています。この定理は、行列の固有値が特定の円板（ゲルシュゴリン円板）の中に存在することを保証します。

定理の主張

`n x n`の複素正方行列Aを考えます。Aの(i,j)成分を`a_ij`と表記します。各行`i`について、非対角成分の絶対値の和`R_i`を以下のように定義します。

`R_i = Σ_(j≠i) |a_ij|`

ここで、`a_ii`を中心とし、`R_i`を半径とする閉円板をゲルシュゴリン円板`D(a_ii, R_i)`と呼びます。

ゲルシュゴリンの定理は、行列Aのすべての固有値が、少なくとも一つのゲルシュゴリン円板上に存在することを主張しています。

定理の証明

行列Aの固有値λとその対応する固有ベクトルx = (x_j)を考えます。固有ベクトルの成分のうち絶対値が最大のものを`|x_i| = max_j |x_j|`とします。`x_i ≠ 0`であることに注意してください（そうでなければx = 0となり、固有ベクトルになりません）。固有値と固有ベクトルの定義から、`Ax = λx`が成り立ちます。この式は、各行について以下のように書き直すことができます。

`Σ_j a_ij x_j = λx_i`

対角成分を移行すると、

`Σ_(j≠i) a_ij x_j = λx_i - a_ii x_i`

両辺を`x_i`で割って絶対値を取ると、

`|λ - a_ii| = |(Σ_(j≠i) a_ij x_j) / x_i| ≤ Σ_(j≠i) |a_ij x_j / x_i| ≤ Σ_(j≠i) |a_ij| = R_i`

ここで、`|x_j / x_i| ≤ 1` (j≠i) を用いています。この式は、固有値λがゲルシュゴリン円板`D(a_ii, R_i)`上に存在することを示しています。

系

行列Aの転置行列A^Tを用いることで、Aの固有値は、Aの列に対応するゲルシュゴリン円板上に存在することも示せます。

ゲルシュゴリン円板の解釈と応用

ゲルシュゴリンの定理は、行列の非対角成分が小さい場合、固有値は対角成分の近傍に存在することを示唆しています。この性質を利用して、行列の固有値を近似計算することができます。また、条件数の大きい行列に対する線形方程式の求解においても、前処理としてゲルシュゴリンの定理を用いることで、計算の精度を向上させることができます。

より強い結果

ゲルシュゴリン円板が互いに交わらない場合、各円板はちょうど一つの固有値を含みます。しかし、円板が交わる場合は、円板の中に固有値が存在しない場合もあります。より一般的には、k個のゲルシュゴリン円板の合併が、残りのn-k個の円板と交わらない場合、そのk個の円板にはちょうどk個の固有値が含まれ、残りのn-k個の円板にはn-k個の固有値が含まれます。

例

具体的な行列に対してゲルシュゴリンの定理を適用することで、その行列の固有値のおおよその範囲を求めることができます。

まとめ

ゲルシュゴリンの定理は、正方行列の固有値の存在範囲を評価する上で非常に有用な定理です。その簡潔さと実用性から、数値計算の様々な場面で活用されています。 この定理は、行列の構造に関する情報を用いることなく、固有値に関する重要な情報を提供してくれるため、多くの応用分野で重要な役割を果たしています。

もう一度検索