固有値と固有ベクトル

線形代数学における固有値と固有ベクトル

線形代数学において、固有値と固有ベクトルは線形変換の重要な特性を表す概念です。線形変換とは、ベクトル空間上のベクトルを別のベクトルへ写像する関数で、回転、拡大縮小、剪断などが例として挙げられます。

ある線形変換Aに対し、零ベクトルではないベクトルxが存在し、Ax = λxという関係が成り立つとき、λを固有値、xを対応する固有ベクトルと呼びます。ここで、λはスカラー値であり、変換後のベクトルは元のベクトルの方向を維持しつつ、λ倍に拡大または縮小されます。この組(λ, x)を固有対と呼びます。

歴史

固有値の概念は、歴史的には二次形式や微分方程式の研究から生まれました。18世紀には、ベルヌーイ兄弟、ダランベール、オイラーらが弦の振動を研究する過程で固有値問題に遭遇しました。その後、ラプラス、ラグランジュが弦の運動の安定性への固有値の関与を明らかにし、太陽系の研究にも応用しました。オイラーは剛体の回転の研究から主軸の重要性を認識し、ラグランジュがこれを慣性行列の固有ベクトルであることを示しました。

コーシーは二次曲面の分類に固有値を適用し、一般化して任意次元の二次超曲面の分類を行いました。また、彼は“racine caractéristique”（特性根）という用語を考案し、これが現在の“固有値”に相当します。フーリエは熱方程式の解法に固有値を利用し、スツルム、コーシーらによる研究を経て、コーシーは対称[[行列]]の固有値が全て実数であることを発見しました。エルミートはこの事実をエルミート[[行列]]に拡張しました。その後、ブリオスキ、クレープシュ、ワイエルシュトラスらも重要な貢献を果たしました。

19世紀中頃には、リウヴィルによる研究がスツルム＝リウヴィル理論へと発展しました。シュヴァルツとポアンカレはそれぞれラプラス方程式とポアソン方程式の固有値について研究しました。20世紀初頭、ヒルベルトは積分作用素の固有値を研究し、“eigen”（固有の）というドイツ語を用いて固有値、固有ベクトルを表現しました。

固有値問題の解法

固有値λを求めるには、det(λI − A) = 0という固有方程式を解きます。ここで、Iは単位[[行列]]、detは行列式を表します。この方程式はλに関するn次方程式であり、n個の固有値（重複度込み）を持ちます。

実対称[[行列]]やエルミート[[行列]]の場合、固有値は全て実数であり、異なる固有値に対応する固有ベクトルは互いに直交します。nが大きい場合は、ヤコビ法、ハウスホルダー法などの数値的対角化手法を用います。

固有空間

固有値λに対する固有ベクトルと零ベクトルは部分線形空間を形成し、これを固有空間と呼びます。固有空間の次元はその固有値の幾何的重複度を表します。

応用

固有値と固有ベクトルは、様々な分野で応用されています。

画像処理: 画像の圧縮や認識
機械学習: 主成分分析、次元削減
物理学: 量子力学、振動、安定性解析
工学: 構造解析、制御理論

量子力学

量子力学においては、系の状態は状態ベクトルで表現され、シュレーディンガー方程式に従って時間的に変化します。時間変化しない定常状態では、シュレーディンガー方程式は固有値問題の形になります。ハミルトニアンの固有値は系のエネルギーを表し、エネルギー固有値、またはエネルギー準位と呼ばれます。対応する固有ベクトルはエネルギー固有状態と呼ばれ、物理量の測定値が確定している状態です。多電子系などの数値計算においては、無限次元ヒルベルト空間を有限サイズのエルミート[[行列]]で近似して計算を行います。

解析ソフトウェア

固有値問題の数値解法を行うためのソフトウェアとしては、NAG、IMSL、MATLAB、GNU Octave、INTLABなどがあります。

もう一度検索