条件数

条件数：数値解析における問題の難易度

数値解析において、問題を解く際の困難さを測る指標として「条件数」が用いられます。条件数は、問題が数値計算にどれだけ適しているかを表す尺度です。条件数が小さい問題は「良条件」、大きい問題は「悪条件」と呼ばれ、良条件の問題は数値計算で安定して解が求まりやすい一方、悪条件の問題は小さな誤差でも解に大きな影響を与えるため、正確な解を得ることが困難です。

行列の条件数：線形方程式系の解の安定性

代表的な例として、線形方程式系`Ax = b`の条件数を取り上げます。この方程式の条件数は、`b`の小さな変化が解`x`にどれだけ大きな影響を与えるかを表します。具体的には、`b`の相対誤差に対する`x`の相対誤差の最大比率として定義されます。

条件数を式で表すと、以下のようになります。`b`の誤差を`e`とすると、解`x = A⁻¹b`の誤差は`A⁻¹e`となります。解の相対誤差と`b`の相対誤差の比率は`||A⁻¹e||/||e|| ||b||/||A⁻¹b||`と表せます。これは`||A⁻¹||||A||`、つまり行列`A`のノルムの比として表され、これが行列`A`の条件数となります。

この条件数は、用いる行列の性質とノルムの定義に依存します。例えば、`l₂`ノルムを用いる場合、条件数は行列`A`の最大特異値と最小特異値の比として定義されます。`A`が正規行列であれば、最大固有値と最小固有値の比となります。`A`がユニタリ行列であれば、条件数は1となり、これは数値計算上非常に扱いやすいことを示しています。

`l∞`ノルムを用い、`A`が対角行列で特異値を持たない場合、条件数は対角成分の絶対値の最大値と最小値の比で下限が与えられます。

条件数の種類と拡張

行列の条件数の他にも、様々な数値問題に対して条件数が定義されています。例えば、特異値分解、多項式の解、固有値問題などです。一般的な数値問題では、問題を関数`f`として表し、その定義域における解の相対誤差とデータの相対誤差の比の最大値を条件数と定義します。これは、データの小さな変化が解にどれだけ大きな影響を与えるかを表しています。関数`f`が微分可能であれば、条件数はヤコビアン行列を用いて近似できます。

条件数の重要性

条件数は、数値計算の安定性や精度を評価する上で非常に重要な指標です。悪条件の問題では、計算誤差が解に大きく影響するため、適切な数値計算手法の選択や、高精度計算が必要となります。一方、良条件の問題では、計算誤差の影響は小さく、比較的容易に正確な解を得ることができます。そのため、問題の条件数を把握することで、適切な数値計算手法を選択し、計算精度を向上させることができます。

まとめ

条件数は、数値解析における問題の難易度を測る重要な指標であり、問題の性質や計算の安定性、精度を評価する上で欠かせません。様々な数値問題に対して条件数が定義されており、それぞれの問題において、条件数の大きさによって計算の難易度が大きく変わってきます。そのため、数値計算を行う際には、事前に条件数を評価し、適切な手法を選択することが重要です。

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