コア (ゲーム理論)

協力ゲーム理論におけるコア

コアとは、協力ゲーム理論において重要な解の概念です。1953年にGilliesによって初めて定義され、その後、マーティン・シュービックによって一般均衡理論における契約曲線として一般化できることが示され、経済学における重要性が広く認識されるようになりました。

コアの定義

n人協力ゲームを (N, v) で表します。ここで、Nはプレイヤーの集合、vは提携の価値を表します。このゲームにおける実現可能な利得ベクトル x = (x₁, ..., xₙ) のうち、提携合理性と呼ばれる条件を満たすベクトルの集合がコアとなります。

提携合理性

すべての提携Sにおいて、提携Sに属するプレイヤーの利得の合計が、提携Sの価値以上である必要があります。数式で表すと以下のようになります。

Σ (i∈S) xᵢ ≥ v(S)

パレート最適性

プレイヤー全体の利得の合計が、プレイヤー全体の提携の価値と等しくなる必要があります。

Σ (i∈N) xᵢ = v(N)

個人合理性

すべてのプレイヤーiにおいて、プレイヤーiの利得が、プレイヤーiのみで形成される提携の価値以上である必要があります。

xᵢ ≥ v({i})

提携合理性は、パレート最適性や個人合理性を一般化した条件です。したがって、コアに属する配分は、これらの条件をすべて満たします。特に、n=2 の場合、提携合理的な配分は「パレート最適かつ個人合理的な配分」として定義できます。

ワルラス均衡とコア

一般均衡理論において、ワルラス均衡はコアに含まれることが知られています。これは、市場メカニズムを通じて達成される資源配分が、協力ゲーム理論における安定的な配分と整合性を持つことを示唆しています。

投票理論におけるコア

投票理論において、選択肢が配分である場合、任意の提携が配分を拒否できると仮定するのは自然です。しかし、選択肢が公共財の供給レベルなどである場合は、十分に人数の多い提携のみが選択肢を拒否できると仮定するのが適切です。このような多数の提携の集まりを「シンプルゲーム」と呼びます。

「選好プロファイルにおけるシンプルゲームのコア」は、勝利提携のみが選択肢xを拒否してyを実現できるという考えに基づいています。このコアがすべての選好プロファイルに対して非空となる必要十分条件は、そのシンプルゲームの中村ナンバーによって与えられます。

まとめ

コアは、協力ゲーム理論における重要な解の概念であり、提携合理性という条件に基づいて定義されます。コアに属する配分は、パレート最適性や個人合理性も満たし、ワルラス均衡や投票理論との関連も深く、経済学や社会科学における様々な現象の分析に役立ちます。

参考文献

岡田章『ゲーム理論・入門：人間社会の理解のために』有斐閣〈有斐閣アルマ〉、2008年。ISBN 978-4-641-12362-5。
奥野正寛『ミクロ経済学』東京大学出版会、2008年。ISBN 978-4130421270。
岸本信「協力ゲーム理論入門」『オペレーションズ・リサーチ』、343-350頁2015年。
鈴木光男『ゲーム理論の世界』勁草書房、1999年。ISBN 978-4326550371。

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