コスニタの定理

コスニタの定理

コスニタの定理（英: Coşniţă's Theorem）は、三角形における特定の3つの直線が一点で交わるという、共点性に関する定理です。

定理の主張

任意の三角形ABCを考えます。この三角形の外心（外接円の中心）をOとします。

次に、この外心Oと三角形ABCの各頂点（A, B, C）を用いて、3つの新しい三角形、すなわち三角形OBC、三角形OCA、三角形OABを作ります。

これらの3つの三角形それぞれについて、その外心を求めます。

三角形OBCの外心をO~a~とします。
三角形OCAの外心をO~b~とします。
三角形OABの外心をO~c~とします。

コスニタの定理は、元の三角形の各頂点A, B, Cと、それに対応する新しい三角形の外心O~a~, O~b~, O~c~を結んで得られる3つの直線、すなわち

直線AO~a~
直線BO~b~
直線CO~c~

が、必ず同一の点において交わることを主張する定理です。

定理の名称と交点

この定理は、20世紀初頭にルーマニアで活躍した数学者、チェザール・コスニタ（Cezar Coşniţă, 1883-1971）に敬意を表して、彼の名前が冠されました。

この定理によってその存在が保証される、3つの直線AO~a~、BO~b~、CO~c~の交点は、特定の幾何学的な重要性を持つ点として知られています。

この特別な交点は、イギリスの幾何学者ジョン・リグビー（John Rigby）によって「コスニタ点（Coşniţă Point）」と名付けられました。

コスニタ点の性質

コスニタ点は、元の三角形の九点円の中心（オイラー点とも呼ばれる）に対して、等角共役な点であるという興味深い幾何学的性質を持っています。等角共役とは、ある点と三角形の頂点を結ぶ直線が作る角が、その頂点の角の二等分線に対して、等角共役点と頂点を結ぶ直線が作る角と対称になるような関係です。

三角形の中心に関する様々な情報が集約されているオンラインデータベース「Encyclopedia of Triangle Centers」（ETC）においては、コスニタ点はX(54)という識別番号で登録されており、三角形の中心の一つとして正式に認められています。

他の定理との関連

コスニタの定理は、より一般的な幾何学的構造から導かれる他の定理の特殊なケースとしても捉えられます。

例えば、現代の幾何学者であるゴ・カイン・ダオ（Ngô Quang Dương）が発見したダオの六角形の周上の六円定理（Dao's theorem on six circles associated with the excircles）と呼ばれる定理の、ある特定の状況下における特別な場合であることが知られています。

コスニタ点の三線座標

三角形ABCの各頂点の角度をA, B, Cとするとき、コスニタ点の三線座標（Trilinear Coordinates）は、以下の比で与えられます。

$$ \sec(B-C) : \sec(C-A) : \sec(A-B) $$

ここで、$\sec(x)$は三角関数のセカント、すなわち$1/\cos(x)$を表します。この座標表示は、コスニタ点が三角形の角の大きさにどのように依存するかを示しています。

コスニタの定理とそれに付随するコスニタ点は、三角形の外心や他の中心点、さらには等角共役といった幾何学的な概念を結びつける、現代三角形幾何学における興味深い研究対象の一つです。

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