コレスキー分解

コレスキー分解：正定値行列の効率的な分解手法

コレスキー分解とは、正定値エルミート[[行列]]を、下三角行列とその共役転置行列の積に分解する数値計算手法です。特に、実対称[[行列]]の場合は、下三角行列とその転置行列の積に分解されます。この分解は、線形方程式系の解法や最小二乗問題、統計学など、様々な分野で広く応用されています。

コレスキー分解の数学的基礎

正定値エルミート[[行列]] A は、以下の式のようにコレスキー分解できます。

A = L L

ここで、L は下三角行列、L は L の共役転置行列です。A が実対称[[行列]]の場合は、

A = L L^T

となります。L^T は L の転置行列です。エルミート[[行列]] A が正定値であることと、コレスキー分解が存在することは同値です。この性質が、コレスキー分解の有用性の根幹を成しています。

コレスキー分解のアルゴリズム

コレスキー分解を実現するアルゴリズムは複数存在します。代表的なものとして、コレスキー・バナキエヴィッツ法とコレスキー・クラウト法があります。これらは、ガウスの消去法を改良したもので、行列 A を効率的に分解します。

コレスキー・バナキエヴィッツ法

この方法は、下三角行列 L の要素を左上から順に行ごとに計算します。各要素の計算には、それまでに計算された要素の値を用います。計算式は、行列 A の要素と L の既に計算された要素を用いて、L の各要素を直接求める形で記述されます。

コレスキー・クラウト法

コレスキー・クラウト法は、コレスキー・バナキエヴィッツ法と計算式は同じですが、L の要素を左上から順に列ごとに計算する点が異なります。どちらの方法も、計算効率はほぼ同等です。

再帰的アルゴリズム

コレスキー分解は再帰的なアプローチでも実装可能です。この方法は、行列 A を段階的に小さな部分行列に分解し、最終的に単位[[行列]]を得ることで、コレスキー分解を得ます。各ステップでは、エルミート性を維持しながら行列の一部を消去し、下三角行列 L を構成していきます。

コレスキー分解の改良版

修正コレスキー分解

通常のアルゴリズムでは平方根計算が必要で、計算コストや数値誤差が問題になる場合があります。修正コレスキー分解は、平方根計算を回避するために、

A = L D L*

の形に分解します。ここで、D は対角行列です。この方法では、実数の四則演算のみで計算でき、計算が高速化し、数値的安定性も向上します。しかし、行列が正則であっても分解が存在しない場合があります。

不完全コレスキー分解

不完全コレスキー分解は、特に大規模で疎な行列を扱う際に有効な手法です。この方法は、厳密な分解ではなく、近似的な分解を行うことで、計算コストとメモリ消費量を削減します。この近似分解は、反復解法の前処理として用いられることが多く、反復解法の収束性を改善します。

コレスキー分解の応用

コレスキー分解は、線形方程式系の解法、最小二乗問題、固有値問題、統計学における分散共分散行列の処理など、様々な場面で活用されています。特に、正定値対称[[行列]]を扱う問題では、効率的で安定した計算を可能にする重要な手法です。

まとめ

コレスキー分解は、正定値エルミート[[行列]]を効率的に分解する強力な数値計算手法です。そのアルゴリズムは複数存在し、問題の規模や特性に応じて最適なアルゴリズムを選択できます。また、修正コレスキー分解や不完全コレスキー分解といった改良版も存在し、計算コストやメモリ消費量を削減したり、数値的安定性を向上させることができます。これらの手法は、現代の数値計算において不可欠な役割を果たしています。

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