エルミート行列

エルミート行列：実対称行列の複素数版

線形代数学において、エルミート行列（または自己随伴行列）は、複素数を成分とする正方行列の一種です。エルミート行列の最も重要な特徴は、それが自身の随伴行列（共役転置行列）と等しくなる点にあります。

より具体的に説明しましょう。正方行列 A の要素を aᵢⱼ とすると、その随伴行列 A† は、(j, i) 成分が aᵢⱼ の複素共役 āᵢⱼ となる行列です。エルミート行列 A は、以下の式を満たします。

A = A†

これは、任意の添字 i, j について、aᵢⱼ = āⱼᵢ が成り立つことを意味します。つまり、(i, j) 成分は (j, i) 成分の複素共役と等しくなります。

エルミート行列は、実数を成分とする実対称行列の複素数への自然な拡張と言えます。実対称行列では、(i, j) 成分と (j, i) 成分が常に等しいですが、エルミート行列では、これらの成分が複素共役の関係にあります。

エルミート行列の性質

エルミート行列は、いくつかの重要な性質を持っています。

1. 主対角成分の実数性: エルミート行列の主対角成分（i = j の成分）は、常に実数になります。これは、aᵢᵢ = āᵢᵢ となることから明らかです。

2. 実対称行列との関係: 全ての成分が実数であるエルミート行列は、実対称行列と一致します。実対称行列は、エルミート行列の特別な場合と言えるでしょう。

3. 正規行列: エルミート行列は、常に正規行列です。正規行列とは、自身の随伴行列と可換な行列 A†A = AA† を指します。この性質により、エルミート行列はユニタリ行列によって対角化可能となります。

4. 固有値の実数性: エルミート行列の固有値は、常に実数です。これは、エルミート行列の重要な性質であり、様々な応用において重要な役割を果たします。

5. 固有ベクトルの直交性: 異なる固有値に対応するエルミート行列の固有ベクトルは、互いに直交します。

6. エルミート行列の演算: 2つのエルミート行列の和は、再びエルミート行列になります。また、エルミート行列の逆行列も存在するならば、それはやはりエルミート行列になります。しかし、2つのエルミート行列の積がエルミート行列となるのは、それらの行列が可換な場合のみです。

7. ベクトル空間: n 次の複素エルミート行列の全体は、実数体 R 上のベクトル空間を形成します。しかし、複素数体 C 上のベクトル空間ではありません。

8. 固有分解: エルミート行列 A は、ユニタリ行列 U と対角行列 Λ を用いて、A = UΛU† と固有分解できます。ここで、Λ の対角成分は A の固有値です。

9. 行列式の性質: エルミート行列の行列式は、常に実数になります。これは、行列式が固有値の積で表され、固有値が実数であることから従います。

10. 任意の正方行列の分解: 任意の正方行列は、エルミート行列と歪エルミート行列の和として一意的に分解できます。

エルミート行列の応用

エルミート行列は、量子力学、特に量子力学における線形演算子の表現において非常に重要です。量子力学では、物理量を表す演算子はエルミート行列で表現され、その固有値が物理量の観測値に対応します。 また、信号処理や画像処理など、様々な分野にも応用されています。 パウリ行列やゲルマン行列など、物理学でよく知られた行列もエルミート行列の例です。

まとめ

エルミート行列は、その重要な性質と様々な応用から、線形代数において重要な役割を果たす行列です。その性質を理解することは、線形代数や物理学の理解を深める上で不可欠です。

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