コーシー・リーマンの方程式

コーシー・リーマンの方程式：複素関数の正則性と微分可能性

複素解析において、コーシー・リーマンの方程式は、複素関数の微分可能性、ひいては正則性を判定するための重要なツールです。この方程式は、2つの偏微分方程式から成り立ち、複素関数の実部と虚部の偏導関数間に成り立つ関係を記述しています。

方程式の定義と歴史

2つの実数値関数 u(x, y) と v(x, y) を考えます。これらの関数がコーシー・リーマンの方程式を満たすとは、次の2つの条件が成立することです。

∂u/∂x = ∂v/∂y

∂u/∂y = -∂v/∂x

ここで、∂u/∂x は u を x で偏微分したもの、同様に他の偏導関数も定義されます。

この方程式は、オーギュスタン＝ルイ・コーシーとベルンハルト・リーマンの名を冠していますが、実はジャン・ル・ロン・ダランベールが最初に言及しました。その後、レオンハルト・オイラーが解析関数との関連を明らかにし、コーシーが関数論の構築に用いたことで、現代数学における重要性が確立しました。リーマンも自身の関数論研究においてこの方程式を用いています。

正則性との関係

複素関数 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) (z = x + iy) を考えます。f がある点で複素微分可能であるためには、u と v がその点で実微分可能であり、かつコーシー・リーマンの方程式を満たすことが必要十分条件となります。

さらに、複素関数 f がある領域（複素平面の開連結部分集合）のすべての点で複素微分可能であるとき、f はその領域で正則であると言います。正則関数は、その領域内で無限回微分可能であり、テイラー展開可能です。この性質は、実関数では必ずしも成り立たない重要な違いです。

幾何学的な解釈：等角写像

コーシー・リーマンの方程式は、幾何学的な意味も持ちます。関数 f がコーシー・リーマンの方程式を満たす場合、f は等角写像となります。等角写像とは、角度を保つ写像のことです。つまり、複素平面上の2つの曲線が交わる角度は、f による像においても保存されます。この性質は、複素解析における様々な問題の解決に役立ちます。

コーシー・リーマンの方程式を複素形式で表すと、以下のようになります。

i ∂f/∂x = ∂f/∂y

この式から、ヤコビ行列が特定の形式を持つことが分かります。この形式のヤコビ行列は、相似拡大を伴う回転を表しており、角度を保存する性質が明確になります。

複素微分可能性

複素関数 f(z) の点 z0 における複素導関数は、次の極限として定義されます。

lim (h→0) [f(z0 + h) - f(z0)] / h

この極限が存在する場合、f は z0 で複素微分可能です。この極限は、h を実軸または虚軸に沿って 0 に近づけて計算することができます。そして、f が z0 で複素微分可能であるためには、どちらの方向から近づけて計算しても同じ値が得られなければなりません。この条件が、コーシー・リーマンの方程式に他なりません。

さらに、関数fが実微分可能であれば、コーシー・リーマンの方程式が成立することが複素微分可能性の必要十分条件となります。

具体例：f(z) = z²

f(z) = z² = (x + iy)² = x² - y² + 2ixy

このとき、u(x, y) = x² - y²、v(x, y) = 2xy となります。それぞれの偏導関数は以下の通りです。

∂u/∂x = 2x, ∂u/∂y = -2y, ∂v/∂x = 2y, ∂v/∂y = 2x

これらの偏導関数はコーシー・リーマンの方程式を満たしているため、f(z) = z² は複素平面上のすべての点で複素微分可能（正則）です。

まとめ

コーシー・リーマンの方程式は、複素関数の正則性を判定する上で非常に重要な役割を果たします。その定義、幾何学的な意味、複素微分可能性との関係を理解することで、複素解析のより深い理解につながります。この方程式は、複素解析における様々な定理や公式の証明にも広く利用されています。また、等角写像の性質からも、その重要性が分かります。 この解説が、複素解析の学習の一助となれば幸いです。

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