ゴールマハティヒ予想

ゴールマハティヒ予想

ゴールマハティヒ予想（Goormaghtigh conjecture）は、ベルギーの数学者ルネ・ゴールマハティヒによって提起された、整数論における重要な未解決問題の一つです。

この予想が対象とするのは、特定の形をした指数ディオファントス方程式です。具体的には、次の等式を満たす整数解 (x, y, m, n) の性質に関するものです。


(x^m - 1) / (x - 1) = (y^n - 1) / (y - 1)


ここで、左辺は整数 x を基数とする m 桁のレピュニット数、右辺は整数 y を基数とする n 桁のレピュニット数を表しています。ただし、分母がゼロにならないよう x > 1, y > 1 とします。

ゴールマハティヒ予想は、この方程式において、x > y > 1 かつ m > 2, n > 2 という条件を満たす整数解（非自明解）の組は、以下の二つ以外には存在しないと主張しています。具体的には、(x, y, m, n) の組として以下のものが挙げられます。

• - (5, 2, 3, 5)
• - (90, 2, 3, 13)

これらの解は、例えば (5, 2, 3, 5) の場合、(5³ - 1)/(5 - 1) = 31 かつ (2⁵ - 1)/(2 - 1) = 31 となり等号が成立することを確認できます。

したがって、この予想は「異なる二つ以上の整数を基数として、同じ値を表す3桁以上のレピュニット数は、31と8191の二つに限られる」と言い換えることも可能です。31は基数5で111、基数2で11111と表され、8191は基数90で111、基数2で1が13個並んだ数として表されます。

研究の進展

ゴールマハティヒ予想は現在も完全に証明されていませんが、その解決に向けた研究は進展しており、いくつかの重要な部分的な結果が得られています。

• - 1961年、Davenport、Lewis、Schinzelらは、指数 m と n をそれぞれ固定した場合、上記方程式の整数解は高々有限個しか存在しないことを示しました。この証明は、整数点に関するジーゲルの定理に基づいています。
• - 1998年には、Nesterenko と Shorey が、m - 1 = dr かつ n - 1 = ds という特定の関係がある場合（d ≥ 2, r ≥ 1, s ≥ 1）、解のパラメータである x, y, m, n の最大値が r と s の値のみに依存する形で上から抑えられることを示しました。
• - 2005年には、Yuan Pingzhi によって、m = 3 かつ n が奇数であるという条件下で、この予想が正しいことが証明されました。
• - 2008年、He Bo と Alan Togbé は、基数 x と y をそれぞれ固定した場合、方程式は高々1個の解しか持たないことを明らかにしました。

これらの結果は予想の一部を解決したり、解の存在範囲を限定したりするものですが、予想全体、すなわち x > y > 1, m > 2, n > 2 のすべての整数に対して、上記の2組以外の解が存在しないことの証明は、依然として数学上の未解決問題として残されています。

関連事項

この予想は、レピュニット数そのものの性質や、レピュニット素数（特に基数2の場合のメルセンヌ素数）の研究とも関連が深いです。また、ディオファントス方程式や超越数論における高度な技法が用いられる分野でもあります。

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