ディオファントス方程式

ディオファントス方程式

ディオファントス方程式は、高次の整係数多変数不定方程式であり、整数や有理数の解を求めるための方程式として重要視されています。この方程式の名称は、古代アレクサンドリアの数学者ディオファントスの著作『算術』に由来し、そこで有理数解の研究が行われたことから名づけられました。ディオファントス方程式の一般的な形式は、次のように定義されます。

$$ \sum a_{e_{1}e_{2}\ldots e_{m}}x_{1}^{e_{1}}x_{2}^{e_{2}}\cdots x_{m}^{e_{m}}=0 \quad (a_{e_{1}e_{2}\ldots e_{m}}\in \mathbb {Z}) $$

この式において、各 $a_{e_{1}e_{2}\ldots e_{m}}$ は整数係数であり、$x_{1}, x_{2}, \ldots, x_{m}$ は変数をの意味します。すべての整数ベクトル(整数解)とその定数乗及び演算に関する方程式がディオファントス方程式として分類されます。

特殊例

代表的なディオファントス方程式には、以下のような特殊な形式があります。

1. ベズー方程式: $a x + b y = d$ 。この方程式の整数解は、ユークリッドの互除法を用いて求めることが可能です。

2. ピタゴラス方程式: $x^2 + y^2 = z^2$ 。この方程式は、直角三角形の辺の比率に相当し、特に正の整数解は『ピタゴラス数』として知られており、一般解の生成公式も存在します。

3. ペル方程式: $x^2 - n y^2 = 1$ 。連分数の理論を使用して、整数解を導出することができます。

4. 楕円曲線: $y^2 = f(x)$ （$f(x)$ は重根を持たない3次または4次の多項式）これは数論の重要な課題の一つであり、有理数解についてモーデルの定理が存在します。整数解は有限個だけ存在し、全ての解を求めることが理論的に可能です。また、この種の曲線は暗号理論にも利用されます。

5. トゥエ方程式: $f(x, y) = k$（$f(x, y)$ は3次以上の斉次既約多項式）。この方程式においても整数解は有限個しか存在せず、全ての解を求める可能性があります。

課題と歴史

ディオファントス方程式の研究は歴史的に非常に難解な問題であり、特に整数解の探索は長い間挑戦的なテーマでした。ディオファントス自身や、近代の数学者フェルマーは重要な貢献者です。499年にはインドの数学者アリヤバータが線型ディオファントス方程式に関する解法を「クッタカ法」という名前で提唱しました。さらに、ブラーマグプタも2次ディオファントス方程式の解法である「チャクラバーラ法」を発表しました。

20世紀には、ディオファントス方程式についての一般的な解法が存在しないことが証明されました。特に、9変数以上の整数解を問う一般的な判定法は存在せず、2変数の場合の判定法も未解決の課題です。1900年に提示された「ヒルベルトの23の問題」の一つとして、ディオファントス方程式の一般的かつ有限的方法の探索が提起されていますが、1970年にはユーリ・マチャセビッチによって否定的に解決されました。これは、再帰的に枚挙可能な任意の整数集合には、その要素を整数解とするディオファントス方程式が必ず存在することを示す結果ももたらしました。

現在もディオファントス方程式に関する研究は進行中で、特に計算理論や計算複雑性理論の観点から注目されています。整数解を探し出す問題や、有理数範囲での解法はなお多くの数学者にとって挑戦的な課題です。

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