サンクトペテルブルクのパラドックス

サンクトペテルブルクのパラドックスの概要

サンクトペテルブルクのパラドックスは、意思決定理論における非常に興味深い事例です。このパラドックスは、極めて小さな確率で非常に高額な利益が得られる状況において、期待値が無限になるという現象を示しています。1738年にダニエル・ベルヌーイによって提起され、彼の論文「リスクの測定に関する新しい理論」で発表されました。この理論は、古典的な期待値概念が現実には適用しきれないことを示唆しており、「効用」という新たな視点を提供しています。

パラドックスの基本構造

このパラドックスの具体的な説明には、偏りのないコインを用いたゲームがよく引き合いに出されます。このゲームでは、コインを投げ続け、表が出た時点で賞金が得られます。賞金は、初めて表が出るまでの投げた回数に基づいて倍々に設定されています。具体的には、n 回コインを投げて、n 回目に初めて表が出ると、賞金は 2^(n-1) 円となります。したがって、10 回目に出た場合は512円、20回目であれば52万4288円というように、巨大な金額が得られます。

ここで、もし参加者がこのゲームに参加するために支払うべき金額を設定すると、数学的には賞金の期待値を基に決定します。しかし、計算すると、期待値は無限大に達することが分かります。これは、参加金額がどれほど高額であっても、期待値を基に判断すれば、ゲームに参加すべきという結論に至ります。しかし、実際にはこの利益が実現する可能性は極めて低いことに直感的に気づくのです。実際に得られる利益は、1円や2円、そして表が出た場合でも512円といった限られた範囲に留まります。

現実の制約

このパラドックスの矛盾は、ゲームにおいて賞金には上限があるという現実にあります。例えば、賭けの主催者が財政的に限界を持っている場合、参加者に約束する賞金額がその限度を超えることはありません。このように、期待値が無限に発散する状況はあくまで理論上の話で、実際のゲームでは参加者はその限界を考慮する必要があります。

効用理論による視点

ダニエル・ベルヌーイは、このパラドックスを「効用」という概念を用いて回避しました。彼の理論によれば、人々は金額の大きさだけでなく、得られる利益の価値をどのように感じるかによって決定を下します。一般的に、金額が増えるほど効用の増加率は徐々に減少します。これを「限界効用逓減」と呼びます。ベルヌーイは、効用を金額の対数関数としてモデル化し、より大きな金額に対する効用の変化は小さくなると述べました。

反響と議論

このパラドックスは、以来多くの学者に議論の的となりました。ガブリエル・クラメールやダランベールのような数学者たちがそれぞれの視点からこの問題に対し異なる解答を提示しています。特にクラメールは、金額の価値がその額面に比例しないという考えを持ち、さまざまなモデルを提案しました。また、ダランベールは、期待値が無限になるのは、ゲームを永遠に続けるという非現実的な仮定に基づくものであると指摘しています。

結論

サンクトペテルブルクのパラドックスは、数学的な期待値と実際の判断における直感の乖離を示しており、さらに「効用」という視点を通じて、長い間考えられてきた意思決定理論の範疇を広げています。これは確率論や経済学だけでなく、心理学や哲学においても重要な議論を呼び起こすテーマとなっています。

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