シェファー列

シェファー列（Sheffer sequence）

数学におけるシェファー列（英: Sheffer sequence）は、組合せ論で重要な役割を果たす「陰計算（umbral calculus）」と関連が深い多項式列 `{p_n(x) : n = 0, 1, 2, ...}` の特定のクラスを指します。この列に含まれる各多項式 `p_n(x)` は、その添え字 `n` と同じ次数を持ちます。名称は、数学者イサドラ・シェファーの研究に由来します。

定義

多項式列 `{p_n(x)}` がシェファー列であるか否かは、ある線形作用素 `Q` との関係によって特徴づけられます。この作用素 `Q` は、列の各多項式に対して

`Q p_n(x) = n p_{n-1}(x)`

という関係を満たすように定義されます（ただし、`p_{-1}(x)` は恒等的にゼロとします）。この定義により、`Q` が任意の多項式にどのように作用するかが一意に定まります。

シェファー列の核となる条件は、この作用素 `Q` が「シフト同変（shift-equivariant）」であることです。シフト同変性とは、簡単に言えば、多項式の引数をシフトさせる操作（例: `f(x)` を `f(x+a)` にする）と、作用素 `Q` を施す操作の順番を入れ替えても結果が変わらないという性質です。このような性質を持つ線形作用素 `Q` は、次数を1減らす作用素であることから、特に「デルタ作用素」と呼ばれます。

したがって、多項式列 `{p_n(x)}` がシェファー列であることと、定義された作用素 `Q` がデルタ作用素であることは同値な条件です。

性質と構造

シェファー列全体からなる集合は、「陰合成（umbral composition）」と呼ばれる特別な演算に関して閉じており、群を形成します。2つのシェファー列 `{p_n(x)}` と `{q_n(x)}` の陰合成 `p ∘ q` は、`p_n(x)` を `x^k` の多項式として見たときの係数 `a_{n,k}` を用い、`x^k` を `q_k(x)` に置き換える形で定義されます。つまり、`(p_n ∘ q)(x) = Σ_{k=0}^n a_{n,k} q_k(x)` となります。

この群構造における単位元は、標準的な多項式列 `{x^n : n = 0, 1, 2, ...}` です。

シェファー列の群には、特に重要な2つの部分群があります。

1. アペル列の群: この部分群に属するシェファー列は、その定義における作用素 `Q` が微分作用素 `d/dx` に一致するものです。
2. 二項型多項式列の群: この部分群の要素 `{p_n(x)}` は、すべての `n` と `x, y` に対して、二項定理に類似した関係式 `p_n(x+y) = Σ_{k=0}^n (n choose k) p_k(x) p_{n-k}(y)` を満たします。シェファー列が二項型であることは、`p_0(x) = 1` かつ `p_n(0) = 0` （`n ≥ 1`）を満たすことと同値です。

アペル列の群は可換群であり、シェファー列の群の正規部分群です。一方、二項型列の群は非可換であり、正規部分群ではありません。シェファー列の群は、アペル列の群と二項型列の群の半直積として理解することができます。

また、シェファー列 `s_n(x)` は、それと同じデルタ作用素を持つ唯一の二項型列 `p_n(x)` を用いて、次の関係式で特徴付けられることもあります。

`s_n(x+y) = Σ_{k=0}^n (n choose k) p_k(x) s_{n-k}(y)`

特にアペル列の場合、対応する二項型列は `{x^n}` であるため、上記の式は `s_n(x+y) = Σ_{k=0}^n (n choose k) x^k s_{n-k}(y)` と簡略化されます。

シェファー列はまた、指数型母関数によっても特徴付けられます。多くのシェファー列 `{p_n(x)}` は、適切な形式的冪級数 `A(t)` と `B(t)` を用いて、母関数が `Σ_{n=0}^∞ (p_n(x) / n!) t^n = A(t) exp(xB(t))` の形を取ります。このことから、シェファー列がより広いクラスである一般化アペル多項式に含まれることがわかります。

例

シェファー列に分類される著名な多項式列は数多くあります。以下はその代表例です。

アーベル多項式列
ベルヌーイ多項式列
中心階乗多項式列
エルミート多項式列
ラゲール多項式列
マーラー多項式列
単項式列 `{x^n}`
モット多項式列

これらの例は、シェファー列という概念が様々な数学的構造を統一的に捉えるための枠組みとして機能することを示しています。

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