シューア補行列

シューア補行列：定義と応用

線形代数学において、シューア補行列は区分行列に対して定義される重要な概念です。その名称はイサイ・シューアによるシューアの補題の証明に由来しますが、それ以前にも使用されていたことが確認されています。シューア補行列という名称の使用を始めたのはエミリー・ヘインズワースです。

シューア補行列は、数値解析（特に数値線形代数）、統計学、行列解析において主要なツールとなっています。本稿では、その定義、性質、および様々な分野への応用について解説します。

シューア補行列の定義

サイズがそれぞれ p × p, p × q, q × p, q × q の行列 A, B, C, D を用いて、以下の区分行列 M を考えます。


M = \begin{pmatrix} A & B \\ C & D \end{pmatrix}


M は (p + q) × (p + q) 行列となります。D が正則であるとき、D に関するシューア補行列 M/D は以下の p × p 行列として定義されます。


M/D = A - BD⁻¹C


同様に、A が正則であるとき、A に関するシューア補行列 M/A は以下の q × q 行列として定義されます。


M/A = D - CA⁻¹B


A や D が正則でない場合も、一般化逆行列を用いることで一般化シューア補行列を定義できます。

シューア補行列の背景と導出

シューア補行列は、ガウス消去法のブロック行列版と考えることができます。行列 M にブロック下半三角行列 L を右から掛けると、上側の p × p 行列としてシューア補行列が現れます。


L = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ -D^{-1}C & I_q \end{pmatrix}


ここで、Ip は p × p 単位行列です。実際、ML の計算は以下のようになります。


ML = \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B \\ 0 & D \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} I_p & BD^{-1} \\ 0 & I_q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & 0 \\ 0 & D \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ D^{-1}C & I_q \end{pmatrix}


この式は、M の LDU 分解と考えることができます。この分解から、M の逆行列は、D と M/D の逆行列を用いて計算できます。

シューア補行列の性質

M が正定値対称行列ならば、シューア補行列 M/D も正定値対称行列です。
A, B, C, D が全てスカラー（p = q = 1）の場合、2 × 2 行列の逆行列公式がシューア補行列を用いて表現できます。
一般のサイズの場合、A が正則であれば、M の逆行列は A と M/A の逆行列を用いて表すことができます。
区分行列 M の行列式は、det(M) = det(D)det(M/D) と計算できます。
ガットマンの階数加法定理：rank(M) = rank(D) + rank(M/D)
ヘインズワースの慣性加法定理：M の慣性指数は A の慣性指数と M/A の慣性指数との和に等しい。

線形方程式の解法への応用

シューア補行列は、線形方程式系の解法にも応用できます。例えば、以下の線形方程式系


Ax + By = a
Cx + Dy = b


において、D が可逆ならば、x はシューア補行列 M/D を用いて解くことができます。この手法は、元の行列のサイズよりも小さな行列の逆行列を求めることで、計算コストを削減できます。電気工学では、ノード除去やクロン縮約として知られています。

確率論・統計学への応用

多変量正規分布に従う確率ベクトルにおいて、条件付き共分散はシューア補行列を用いて計算できます。また、ウィッシャート分布に従う標本共分散に対しても、シューア補行列は同様の性質を持ちます。

正定値性の判定条件

対称行列 X が正定値となるための必要十分条件は、そのシューア補行列が正定値となることです。この性質は、半正定値の場合にも拡張できます。一般化シューア補行列を用いた判定条件も存在します。

関連事項

ウッドベリの行列恒等式、準ニュートン法、ヘインズワースの慣性加法公式、ガウス過程、全最小二乗法などが関連事項として挙げられます。

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