シルヴェスターの慣性法則

シルベスターの慣性法則：二次形式の不変量

線形代数学において、シルベスターの慣性法則は実二次形式の重要な性質を記述する定理です。この法則は、二次形式を表現する対称行列の基底変換において、特定の性質が不変であることを主張しています。

定理の主張

n次実対称行列Aを考えます。正則行列Sによって、Aは別のn次実対称行列B = SAS^Tに変換されるとします。ここで、S^TはSの転置行列です。行列AとBは合同であると言われます。AがRⁿ上の二次形式の係数行列であれば、Bは同じ二次形式にSで定義される基底変換を施して得られる二次形式の係数行列となります。

この時、Aは必ず対角成分が0, +1, -1のいずれかであるような対角行列Dに変換できます。シルベスターの慣性法則は、この対角行列Dにおける+1の個数、-1の個数、0の個数が、変換行列Sの選び方によらず一定であることを主張します。

+1の個数を正の慣性指数n₊、-1の個数を負の慣性指数n_-、0の個数をn₀と呼びます。n₀は行列Aの核の次元、つまりAの階数とnの差である余階数に等しくなります。これら三つの数は以下の関係を満たします。

n₀ + n₊ + n_- = n

n_- - n₊は符号数と呼ばれます（文献によっては、(n₀, n₊, n_-)全体を符号数と呼ぶ場合もあります）。非退化形式（n₀ = 0）の場合、どちらの定義でも同じ情報を与えますが、一般的には三つ組の方がより多くの情報を含みます。

行列Aの左上からのk次主小行列式Δ_kが全て非零である場合、負の慣性指数n_-は数列Δ₀ = 1, Δ₁, ..., Δ_n = det(A)の符号変化の回数に等しくなります。

固有値を用いた解釈

実対称行列Aの正の慣性指数と負の慣性指数は、それぞれAの正の固有値の数と負の固有値の数に一致します。任意の実対称行列Aは、固有値からなる対角行列Eと固有ベクトルからなる正規直交行列Qを用いて、A = QEQ^Tと固有分解できます。さらに、行列EはE = WDW^Tと分解でき、Dは0, +1, -1を成分とする対角行列、Wは対角成分が√|e_ii|である対角行列となります。このとき、S = QWはDをAに変換する行列となります。

二次形式における慣性法則

実n変数の二次形式Qは、適当な基底変換によって、以下の対角形に変換できます。

Q(x₁, x₂, ..., x_n) = Σ_i=1ⁿ a_ix_i²

ここで、a_i ∈ {0, 1, -1}です。シルベスターの慣性法則は、この係数列a_iの符号の数が、基底の選び方に依存しない二次形式Qの不変量であることを主張します。幾何学的には、二次形式Qの制限が正（または負）の定符号二次形式となるような極大部分空間の次元が一定であることを意味し、その次元が正（または負）の慣性指数に等しくなります。

一般化

シルベスターの慣性法則は、複素成分の行列にも拡張できます。この場合、行列AとBが-合同であるとは、適当な複素正則行列SによってB = SASと表せることを意味します。ここで、は随伴を表します。複素成分の場合のシルベスターの慣性法則は、エルミート行列AとBが-合同であるための必要十分条件は、それらの慣性指数が一致することです。

さらに、この定理は正規行列に一般化されています(Ikramov, 2001)。正規行列AとBが合同であるための必要十分条件は、ガウス平面の原点から出る各開半直線上で同じ数の固有値を持つことです。

関連事項

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