ジョルダンの補題

ジョルダンの補題

複素解析の世界において、ジョルダンの補題は非常に有用な道具であり、周回積分や広義積分を計算する際に留数定理と組み合わせて頻繁に利用されます。この定理は、フランスの数学者カミーユ・ジョルダンの名にちなんで名付けられました。

定理の基本的な考え方

ジョルダンの補題は、特定の条件を満たす複素関数が、大きな半径を持つ半円経路上で積分されたときに、その積分値がどのように振る舞うかを示します。具体的には、原点を中心とする半径Rの半円経路C_R（通常、上半平面内の円弧 `{ Re^(iθ) | θ ∈ [0, π] }` で考えられます）上の連続な複素関数 `f(z)` を対象とします。

もし関数 `f(z)` が `f(z) = e^(iaz) g(z)` という形（ここで `a` は正の実数）で書けるならば、ジョルダンの補題は、経路C_Rに沿った `f(z)` の周回積分の絶対値について、以下のような上限を与えることを示しています。

`|∫_{C_R} f(z) dz| ≤ (π/a) M_R`

ここで `M_R` は、経路C_R上における関数 `g(z)` の絶対値の最大値、すなわち `M_R := max_{θ∈[0,π]} |g(Re^(iθ))|` です。この不等式は、特にRが大きくなるときに関数 `g(z)` の挙動が重要であることを示唆しています。

この定理は通常 `a > 0` の場合に上半平面の半円経路について適用されますが、`a < 0` の場合には下半平面の半円経路に対して同様の主張が成り立ちます。

補題がもたらす重要な帰結

ジョルダンの補題の特に重要な応用は、半径Rを無限大に飛ばす極限において現れます。

もし関数 `f(z)` が大きなRを持つ半円経路C_R上で連続であり、かつRが無限大に近づくにつれて `M_R` がゼロに収束する、つまり `lim_{R→∞} M_R = 0` が成り立つならば、ジョルダンの補題によって、C_R上での積分の絶対値もゼロに収束することが保証されます。

`lim_{R→∞} ∫_{C_R} f(z) dz = 0`

これは、無限遠方での積分が無視できるようになることを意味し、留数定理と組み合わせることで、実軸上の広義積分を計算する強力な手段となります。

ちなみに、`a = 0` の場合はこの補題の直接的な対象ではなく、別の評価である推定補題（ML不等式とも呼ばれることがあります）が関連しますが、ジョルダンの補題は推定補題と異なり、積分経路の長さ（この場合、半円の長さ πR）に直接依存しない形で上限を与えている点が特徴です。

実軸上の積分計算への応用

ジョルダンの補題は、留数定理と組み合わせることで、`f(z) = e^(iaz) g(z)` の形（`a > 0`）をした関数の実軸に沿った広義積分 `∫_{-∞}^∞ f(x) dx` を計算する簡便な方法を提供します。

例えば、上半平面で有限個の孤立特異点（極など）のみを持ち、閉じた上半平面で連続であるような関数 `f(z)` を考えます。このとき、実軸上の線分 [-R, R] と上半平面の半円経路C_Rを組み合わせた閉じた経路Cを構成することができます。

この閉経路Cに沿った積分は、留数定理によって、経路内部（すなわち上半平面）にある `f(z)` の特異点における留数の合計を用いて計算できます。

`∮_C f(z) dz = 2πi Σ Res(f, z_k)`

ここで `z_k` は経路Cの内部にある `f(z)` の特異点です。一方、閉経路Cでの積分は、実軸上の積分と半円経路上の積分の和に分解できます。

`∮_C f(z) dz = ∫_{[-R, R]} f(x) dx + ∫_{C_R} f(z) dz`

ここで、Rを十分大きく（全ての特異点を含むように）選び、さらに `lim_{R→∞} M_R = 0` という条件が満たされる場合、ジョルダンの補題により半円経路上の積分 `∫_{C_R} f(z) dz` はR → ∞ の極限でゼロになります。

したがって、この極限において、留数定理で得られた値がそのまま実軸上の広義積分の値と等しくなることがわかります。

`∫_{-∞}^∞ f(x) dx = 2πi Σ Res(f, z_k)`

この手法は、実変数のままでは計算が困難な積分を、複素解析の強力なツールである留数定理を用いて計算可能にするものです。

具体的な計算例

具体的な適用例として、関数 `f(z) = e^(iz) / (1 + z^2)` を考えてみましょう。この関数は `f(z) = e^(iz) g(z)` の形であり、ここで `g(z) = 1 / (1 + z^2)`、そして `a = 1` です（`a > 0`）。半径 `R > 1` の上半平面の半円経路C_R上で考えると、`g(z)` の絶対値の最大値 `M_R` は `1 / (R^2 - 1)` となります。R → ∞ のとき `M_R → 0` となるため、この関数はジョルダンの補題の条件を満たします。

関数 `f(z)` の特異点は `1 + z^2 = 0` を解いて `z = i` と `z = -i` です。上半平面にある特異点は `z = i` のみです。ここで `f(z)` は単純極を持ちます。留数を計算すると：

`Res(f, i) = lim_{z→i} (z - i) f(z) = lim_{z→i} (z - i) [e^(iz) / ((z - i)(z + i))] = lim_{z→i} [e^(iz) / (z + i)] = e^(ii) / (i + i) = e^(-1) / (2i)`

ジョルダンの補題と留数定理を組み合わせた結果から、実軸上の積分は：

`∫_{-∞}^∞ [e^(ix) / (1 + x^2)] dx = 2πi Res(f, i) = 2πi [e^(-1) / (2i)] = π/e`

この結果の実部をとることで、よく知られた積分値が得られます。

`∫_{-∞}^∞ [cos x / (1 + x^2)] dx = Re(π/e) = π/e`

このように、ジョルダンの補題は、複素積分を経由して実積分の値を求める強力な手法を可能にします。

証明の概略

ジョルダンの補題の証明は、複素線積分の定義から出発し、積分値の絶対値を評価することに基づいています。半円経路C_R上での積分をパラメータ表示し、絶対値の不等式 `|∫ f dz| ≤ ∫ |f| |dz|` を適用します。`|f(z)| = |e^(iaz) g(z)| = |e^(iaR(cos θ + i sin θ)) g(Re^(iθ))| = |e^(iaR cos θ) e^(-aR sin θ) g(Re^(iθ))| = e^(-aR sin θ) |g(Re^(iθ))|` となること、および `|dz| = R dθ` を利用します。

`|∫_{C_R} f(z) dz| ≤ R ∫₀^π e^(-aR sin θ) |g(Re^(iθ))| dθ`

ここで `|g(Re^(iθ))| ≤ M_R` を用いると：

`|∫_{C_R} f(z) dz| ≤ R M_R ∫₀^π e^(-aR sin θ) dθ`

積分の範囲を [0, π/2] に限定し（`sin θ` の対称性利用）、特に `θ ∈ [0, π/2]` において成り立つ `sin θ ≥ (2θ)/π` という不等式（ジョルダンの不等式と呼ばれることがあります）を利用して被積分関数を上から抑え込みます。

`∫₀^π/2 e^(-aR sin θ) dθ ≤ ∫₀^π/2 e^(-aR (2θ)/π) dθ`

この右辺の積分は初等的に計算でき、`[ -π/(2aR) e^(-2aRθ/π) ]₀^π/2 = -π/(2aR) (e^(-aR) - 1) = π/(2aR) (1 - e^(-aR))` となります。

これらを組み合わせると、元の積分の絶対値は `R M_R 2 [π/(2aR) (1 - e^(-aR))] = (π/a) (1 - e^(-aR)) M_R` と評価できます。`1 - e^(-aR)` は `a > 0, R > 0` のとき1より小さいため、最終的に `|∫_{C_R} f(z) dz| ≤ (π/a) M_R` という定理の主張が得られます。

この証明は、`e^(iaz)` の因子に含まれる `e^(-aR sin θ)` の減衰効果が、半円経路の長さ `πR` の増大効果を上回ることを示しており、これが積分が小さくなる鍵となります。

総じて、ジョルダンの補題は、無限遠点を含む経路での複素積分を扱う上で、留数定理と並んで不可欠な基本定理と言えるでしょう。

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