ジョルダン曲線定理

ジョルダン曲線定理

位相幾何学における重要な基本定理の一つに、「ジョルダン曲線定理」があります。この定理は、非常にシンプルながらも奥深い内容を持ち、平面上で自己交差することなく閉じている曲線（これを「ジョルダン曲線」あるいは「単純閉曲線」と呼びます）が、その平面をきっちりと「内側」と「外側」という、境界を共有する二つの異なる領域に分割することを主張しています。公園の池の周りを柵で囲んだとき、柵の内側が池、外側がそれ以外の地面となるように、平面を一つの閉じた線で隔てるイメージです。

定理の厳密な表現

数学的にこの定理を厳密に述べると以下のようになります。平面 R² 上に一つの単純閉曲線 c が描かれているとします。この曲線 c そのものを平面から取り除いた領域、すなわち補集合は、互いに交わらない二つの空ではない連結な部分に分かれます。このうち一方の部分は、ある限られた広がりを持つ「有界」な領域であり、これを曲線の「内部」と呼びます。もう一方の部分は、無限に広がっていく「非有界」な領域であり、これを曲線の「外部」と呼びます。そして、興味深いことに、この単純閉曲線 c は、これら内部と外部の二つの領域の共通の「境界」となっているのです。

証明の困難さと歴史

ジョルダン曲線定理が述べる内容は、私たちの日常生活での直観とは一致しやすいものです。紙の上に適当な閉じた線を描けば、自然とその内側と外側を区別できます。しかし、数学においてこれを厳密に証明しようとすると、非常に困難な課題となりました。この定理の証明に向けた探求は、数学者ベルナルド・ボルツァーノによって始められ、その後、定理の名前の由来となったカミーユ・ジョルダン自身を含む何人かの数学者たちの手によって進められました。しかし、完全に厳密で誤りのない証明が完成されたのは、ジョルダンの貢献からさらに時を経た1905年、数学者オズワルド・ヴェブレンによってでした。近年、コンピュータによる数学的証明の検証システムであるMizarが、2005年にこの定理の証明を厳密に検証したことも特筆されます。

高次元への拡張と関連定理

ジョルダン曲線定理には、より高次元の空間への拡張版が存在します。例えば、n次元球面 Sn から n+1次元ユークリッド空間 Rn+1 への単射で連続な写像（自身と交わらず連続的に変形された超球面のようなもの）を考えます。この写像の像（図形）をRn+1から取り除いた領域も、やはり二つの互いに素な連結成分に分かれます。一方は有界な「内部」であり、もう一方は非有界な「外部」となり、元の図形はその両方の境界となります。

さらに、ジョルダン曲線定理をより強力に一般化した「ジョルダン＝シェーンフリースの定理」というものがあります。これは、平面上の任意のジョルダン曲線は、平面全体をそれ自身に写すような「同相写像」（連続で逆写像も連続な、穴を開けたり切り貼りをしない変形）によって、標準的な円周に写すことができるという内容です。これはジョルダン曲線定理が示す「分割」という性質よりもずっと強く、「平面内のどんな単純閉曲線も、位相的には円周と区別がつかないほど滑らかに変形できる」ことを意味します。

興味深いことに、このジョルダン＝シェーンフリースの定理は高次元では成り立ちません。その有名な反例が「アレクサンダーの角付き球面」と呼ばれるものです。これは3次元空間内に作られた、見た目は球面のようでありながら非常に複雑な「角」を持つ図形です。この角付き球面の外部領域は単連結（簡単に言うと、どんな閉じたループも一点に縮めることができる性質）ではないため、角付き球面を標準的な球面に写すようなRn+1全体に拡張できる同相写像は存在しないのです。この反例は、直観に反する高次元空間の奇妙な性質を示しています。

ジョルダン曲線定理とその関連概念は、位相幾何学の基礎を築く上で不可欠な要素であり、図形の位相的な性質を理解する上で重要な役割を果たしています。

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