ジョン・マチン

ジョン・マチンとは

ジョン・マチン（英: John Machin）は、およそ1680年に洗礼を受け、1751年6月9日に生涯を終えたイギリスの天文学者であり数学者です。彼はロンドンのグレシャム大学で天文学の教授を務めたほか、王立協会（Royal Society）の特別研究員でもありました。

彼の名が今日まで語り継がれているのは、主に円周率 π の計算を効率化する画期的な公式、通称「マチンの公式」を発見した功績によるものです。この公式は、円周率を求める際に非常に速く正しい値に近づく（収束する）級数計算を可能にしました。また、彼はケンブリッジ大学のセント・ジョンズ・カレッジでも教鞭を執り、後にテイラー展開やテイラーの定理の発見者として知られるブルック・テイラーも彼の指導を受けました。

来歴と主な業績

マチンは多岐にわたる活動を行いました。

円周率計算への貢献

1706年、ジョン・マチンは自身の名を冠することになる重要な公式を発見しました。これが「マチンの公式」です。

$${\frac {\pi }{4}}=4\cot ^{-1}(5)-\cot ^{-1}(239).$$

この公式は、有名なグレゴリー・ライプニッツ級数（しばしばライプニッツの公式として知られる）の変形ですが、その最大の特長は圧倒的な収束の速さにあります。

グレゴリー・ライプニッツ級数は以下の形をしています。

$${\frac {\pi }{4}}=\arctan \left(1\right)=1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots$$.

マチンの公式は、このライプニッツの公式などに比べて計算が非常に早く進むため、円周率の実用的な計算手法として優れていました。マチン自身もこの公式とハレー法を組み合わせて利用し、当時としては驚異的な円周率の100桁までの計算を達成しました。彼の発見した公式は、その後計算機の時代が到来するまで、およそ数世紀にわたり、円周率の桁数を競う数学者や計算家たちの基本的なツールとして広く用いられ続けました。現在でも、マチンの公式に類似した、より効率的な計算公式が数多く研究されています。

その他の活動

数学・天文学以外の分野でも、マチンは重要な役割を果たしています。

微分積分学論争の裁決: 1712年には、当時の科学界最大の論争の一つであった、ゴットフリート・ライプニッツとアイザック・ニュートンの間での微分積分学の発明優先権を巡る争いにおいて、その公式な裁決を行う委員会の一員を務めました。
グレシャム大学教授: 1713年5月16日、彼はアレクサンダー・トリアーノから引き継ぎ、グレシャム大学の天文学教授職に就任しました。マチンは1751年にロンドンで死去するまで、生涯にわたりこの職を務めました。
王立協会書記: 1718年から1747年までの長期間、彼は権威ある王立協会の書記という要職を務め、学会の運営に貢献しました。
月の運動論研究: 1717年からは、月の運動に関する詳細で広範な研究に着手しましたが、この研究成果は残念ながら生前に発表されることはありませんでした。彼の残した手稿の多くは現在、王立天文学会によって保管されています。しかし、1727年にウィリアム・ジョーンズへ送った書簡の中で、彼は太陰暦の修正に重要な貢献をしたことに対し、議会から1万ポンドの報酬を受け取る権利があると強く主張しています。
* 『サイクロペディア』への関与: 1728年に刊行された、イーフレイム・チェンバーズによる初期の著名な百科事典である『サイクロペディア、または諸芸諸学の百科事典』（Cyclopaedia, or Universal Dictionary of Arts and Sciences）には、彼が出資者の一人として名前が記載されています。

ジョン・マチンは、特に円周率計算の歴史において不朽の業績を残した数学者・天文学者であり、当時のイギリス学術界において重要な役割を果たした人物です。

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