マチンの公式
マチンの公式は、1706年にイギリスの天文学者ジョン・マチンによって発見された、逆正接関数（arctan x）を用いた円周率を計算するための公式です。具体的には、以下の式で表されます。
π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
この公式は、円周率πを効率的に計算するためのもので、その歴史的な意義は非常に大きいです。
マチンの公式は、グレゴリー級数（逆正接関数のマクローリン展開）に基づいています。グレゴリー級数は以下のように表されます。
arctan x = Σ[n=0 to ∞] ((-1)^n / (2n+1)) x^(2n+1) = x - (1/3)x^3 + (1/5)x^5 - (1/7)x^7 + ...
この級数にx=1を代入すると、ライプニッツの公式が得られますが、これは収束が非常に遅いため、実用的な円周率計算には不向きです。
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
一方、xを小さくすると収束は速くなります。エイブラハム・シャープはx=1/√3を用いて円周率を計算しましたが、マチンはさらに収束性を高めるために、逆正接関数の関係式を利用しました。
マチンの公式は、グレゴリー級数と組み合わせることで、非常に収束が速い級数を得ることができ、マチン自身もこの公式を用いて円周率を100桁まで計算することに成功しました。
1970年代に算術幾何平均が用いられるようになるまで、マチンの公式や類似の公式が円周率計算の主流であり、計算競争に貢献しました。その後、新しいアルゴリズムが登場しましたが、2002年に金田康正が高野喜久雄の公式を用いて円周率を1兆2411億桁まで計算した記録は特筆に値します。
マチンの公式は、以下の等式で表されます。
π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
ここで、arctan xは主値を取り、-π/2 < arctan x < π/2とします。また、逆余接関数arccot xを用いて、以下のように表現することもできます。
π/4 = 4 arccot(5) - arccot(239)
マチンの公式は、三角関数の公式を用いて証明できます。
1. 二倍角の公式を2回用いてtan(2arctan(1/5))とtan(4arctan(1/5))を計算します。
tan(2arctan(1/5)) = 5/12
tan(4arctan(1/5)) = 120/119
2. 加法定理を用いてtan(4arctan(1/5) - π/4)を計算します。
tan(4arctan(1/5) - π/4) = 1/239
3. 逆関数を取ることで、マチンの公式が得られます。
arctan(1/239) = 4arctan(1/5) - π/4
4arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4
[複素数]]z=a+biの偏角は、arg z=arctan(b/a)で表されます。ド・モアブルの定理を用いると、z^nの偏角はn arctan(b/a)となります。この性質を利用すると、マチンの公式の左辺は、[[複素数]^4(239+i)^-1の偏角と等しく、これがπ/4であることから公式が導けます。
マチンの公式を以下のように変形し、グレゴリー級数を用いて円周率を計算します。
π = 16arctan(1/5) - 4arctan(1/239)
この式において、arctan(1/5)とarctan(1/239)をグレゴリー級数で展開し、部分和を取ることで円周率を近似できます。
例えば、m=1からm=10まで計算すると、部分和の精度が向上します。この方法は、通常のグレゴリー級数よりも遥かに速く収束し、効率的に円周率を求めることができます。
マチンの公式に類似した式は多数存在します。以下にいくつかの例を挙げます。
オイラーによる公式
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
ヤコブ・ハーマンによる式
π/4 = 2arctan(1/2) - arctan(1/7)
ハットンによる式
π/4 = 3arctan(1/4) + arctan(5/99)
π/4 = 2arctan(1/3) + arctan(1/7)
ガウスによる公式
π/4 = 12arctan(1/18) + 8arctan(1/57) - 5arctan(1/239)
ストーマーによる公式
π/4 = 44arctan(1/57) + 7arctan(1/239) - 12arctan(1/682) + 24arctan(1/12943)
π/4 = 6arctan(1/8) + 2arctan(1/57) + arctan(1/239)
高野喜久雄による公式
π/4 = 12arctan(1/49) + 32arctan(1/57) - 5arctan(1/239) + 12arctan(1/110443)
シムソンによる公式
π/4 = 8arctan(1/10) - 4arctan(1/515) - arctan(1/239)
これらの公式は、円周率を計算するための異なる方法を提供し、数学的な興味をそそります。
マチンの公式は、円周率の計算において重要な役割を果たし、その後の円周率計算アルゴリズムの発展に大きく貢献しました。計算機の能力向上と新しい数学的発見によって、より効率的な円周率の計算方法が開発されてきましたが、マチンの公式は今もなお重要な歴史的遺産として認識されています。
円周率の歴史
Weisstein, Eric W. "Machin-Like Formulas". mathworld.wolfram.com (英語)
* 逆正接関数による円周率計算
π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
この公式は、円周率πを効率的に計算するためのもので、その歴史的な意義は非常に大きいです。
概要
マチンの公式は、グレゴリー級数（逆正接関数のマクローリン展開）に基づいています。グレゴリー級数は以下のように表されます。
arctan x = Σ[n=0 to ∞] ((-1)^n / (2n+1)) x^(2n+1) = x - (1/3)x^3 + (1/5)x^5 - (1/7)x^7 + ...
この級数にx=1を代入すると、ライプニッツの公式が得られますが、これは収束が非常に遅いため、実用的な円周率計算には不向きです。
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - ...
一方、xを小さくすると収束は速くなります。エイブラハム・シャープはx=1/√3を用いて円周率を計算しましたが、マチンはさらに収束性を高めるために、逆正接関数の関係式を利用しました。
マチンの公式は、グレゴリー級数と組み合わせることで、非常に収束が速い級数を得ることができ、マチン自身もこの公式を用いて円周率を100桁まで計算することに成功しました。
1970年代に算術幾何平均が用いられるようになるまで、マチンの公式や類似の公式が円周率計算の主流であり、計算競争に貢献しました。その後、新しいアルゴリズムが登場しましたが、2002年に金田康正が高野喜久雄の公式を用いて円周率を1兆2411億桁まで計算した記録は特筆に値します。
公式
マチンの公式は、以下の等式で表されます。
π/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
ここで、arctan xは主値を取り、-π/2 < arctan x < π/2とします。また、逆余接関数arccot xを用いて、以下のように表現することもできます。
π/4 = 4 arccot(5) - arccot(239)
主な証明
三角関数の公式による証明
マチンの公式は、三角関数の公式を用いて証明できます。
1. 二倍角の公式を2回用いてtan(2arctan(1/5))とtan(4arctan(1/5))を計算します。
tan(2arctan(1/5)) = 5/12
tan(4arctan(1/5)) = 120/119
2. 加法定理を用いてtan(4arctan(1/5) - π/4)を計算します。
tan(4arctan(1/5) - π/4) = 1/239
3. 逆関数を取ることで、マチンの公式が得られます。
arctan(1/239) = 4arctan(1/5) - π/4
4arctan(1/5) - arctan(1/239) = π/4
複素数を用いた証明
[複素数]]z=a+biの偏角は、arg z=arctan(b/a)で表されます。ド・モアブルの定理を用いると、z^nの偏角はn arctan(b/a)となります。この性質を利用すると、マチンの公式の左辺は、[[複素数]^4(239+i)^-1の偏角と等しく、これがπ/4であることから公式が導けます。
マチンの公式による計算
マチンの公式を以下のように変形し、グレゴリー級数を用いて円周率を計算します。
π = 16arctan(1/5) - 4arctan(1/239)
この式において、arctan(1/5)とarctan(1/239)をグレゴリー級数で展開し、部分和を取ることで円周率を近似できます。
例えば、m=1からm=10まで計算すると、部分和の精度が向上します。この方法は、通常のグレゴリー級数よりも遥かに速く収束し、効率的に円周率を求めることができます。
マチンの公式の類似
マチンの公式に類似した式は多数存在します。以下にいくつかの例を挙げます。
2項よりなる公式
オイラーによる公式
π/4 = arctan(1/2) + arctan(1/3)
ヤコブ・ハーマンによる式
π/4 = 2arctan(1/2) - arctan(1/7)
ハットンによる式
π/4 = 3arctan(1/4) + arctan(5/99)
π/4 = 2arctan(1/3) + arctan(1/7)
3項以上よりなる公式
ガウスによる公式
π/4 = 12arctan(1/18) + 8arctan(1/57) - 5arctan(1/239)
ストーマーによる公式
π/4 = 44arctan(1/57) + 7arctan(1/239) - 12arctan(1/682) + 24arctan(1/12943)
π/4 = 6arctan(1/8) + 2arctan(1/57) + arctan(1/239)
高野喜久雄による公式
π/4 = 12arctan(1/49) + 32arctan(1/57) - 5arctan(1/239) + 12arctan(1/110443)
シムソンによる公式
π/4 = 8arctan(1/10) - 4arctan(1/515) - arctan(1/239)
これらの公式は、円周率を計算するための異なる方法を提供し、数学的な興味をそそります。
注釈
マチンの公式は、円周率の計算において重要な役割を果たし、その後の円周率計算アルゴリズムの発展に大きく貢献しました。計算機の能力向上と新しい数学的発見によって、より効率的な円周率の計算方法が開発されてきましたが、マチンの公式は今もなお重要な歴史的遺産として認識されています。
関連項目
円周率の歴史
外部リンク
Weisstein, Eric W. "Machin-Like Formulas". mathworld.wolfram.com (英語)
* 逆正接関数による円周率計算
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