ジョーンズ多項式

ジョーンズ多項式とは

ジョーンズ多項式は結び目理論における重要な不変量の一つであり、1984年にヴォーン・ジョーンズによって発見されました。この多項式は、向き付けられた結び目や絡み目に関する特性を数値的に表現するもので、整数を係数とするローラン多項式形式で与えられます。

ジョーンズ多項式の定義

ジョーンズ多項式は、カウフマンによるブラケット多項式を利用して定義されます。具体的には、向き付けられた絡み目Lに対して、ブラケット多項式を用いてジョーンズ多項式V(L)を求めます。この際、ブラケット多項式は不定元Aのローラン多項式で、交差の形状による不要な部分を取り除く効果があります。

ブラケット多項式

ブラケット多項式は次のように定義されます：

• - 正則表示の絡み目のねじれ数 w(L) を用い、次の式で X(L) を導入します。

$$X(L)=(-A^3)^{-w(L)}\langle L \rangle$$
ここで、$
abla L$ は絡み目 L のブラケット多項式です。X(L)は結び目不変量であり、三種類のライデマイスター移動に対して不変であることが保証されています。

ジョーンズ多項式の導出

次に、Aを$t^{-1/4}$と置くことで、ジョーンズ多項式V(L)が得られます。この多項式は、依然として整数を係数とするローラン多項式形式を保っています。

組み紐の表現による定義

ジョーンズ多項式は、彼が研究していた作用素環とも深く関係しており、特別な組み紐の表現から導出されます。絡み目Lはn本の紐から成る組み紐のトレース閉包であると考えられ、特定の群からテンパーリーリーブ代数TLnへの表現が構成されます。このアプローチにより、他の代数形式に対しても同様の不変量を構成することが可能になります。

主な性質

ジョーンズ多項式は、いくつかの重要な関係式によって特徴付けられます。特に、次のスケイン関係式があります：
$$ (t^{1/2}-t^{-1/2})V(L_{0})=t^{-1}V(L_{+})-tV(L_{-}) $$
この式はひとつの絡み目を別の形に変形する際に使われ、再帰的な計算を助ける役割を果たします。

さまざまな応用

ジョーンズ多項式は、物理学的な概念とも関連しています。例えば、エドワード・ウィッテンによるチャーン・サイモンズ理論では、特定の結び目からジョーンズ多項式を計算する方法が示されています。また、量子不変量とも関係深く、ヴァシリエフ不変量との関係も強調されています。さらに、ジョーンズ多項式は結び目の補空間の体積予測にも利用されています。

未解決問題

しかし、いくつかの未解決問題も存在しており、特に自明な結び目と非自明な結び目の間の関係や、他の三次元多様体に対するジョーンズ多項式の拡張についてはさらなる探究が必要です。これは、数学的な理論の発展においても非常に興味深い問題といえます。

結論

ジョーンズ多項式は、結び目理論における基本的な道具であり、数学だけでなく物理学にも重要な影響を与えています。その発展は今後の研究にも多大な影響を与えることでしょう。

もう一度検索