スコットのトリック

スコットのトリック

集合論におけるスコットのトリックは、真クラスの同値関係に基づいて同値類を定義する方法です。この手法は、累積的階層のレベルを利用することに特徴があります。スコットのトリックは、1955年にダナ・スコットによって提案され、選択公理に依存せず、正則性公理を基盤としています。

基本概念と背景

集合論は、集合の性質や関係性を検討する数学の一分野です。その中で、同値関係や同値類の概念は、集合とその構造を分析するのに非常に重要です。スコットのトリックは、任意の集合に対してその同値類を扱う手法であり、特に、選択公理が成り立たないZF（ゼロ選択公理）仮定のもとでも機能します。

彼の方法は、順序数や基数の代表元を定義する際にも利用でき、より広い同型類の研究にも応用可能です。例えば、全順序集合の順序型はこの手法の一例です。また、モデル理論においては、真クラスの超冪を生成する際にも必須の手法であると考えられています。

濃度の概念

スコットのトリックは特に濃度（集合の大きさ）に関する問題に応用されます。濃度は、集合同士の間に全単射が存在するかどうかで定義される同値類によって考えられます。しかし、この定義では、多くの同値類が真クラスになり、集合だけを扱うZF理論では直接検討できない場合があります。

ZFC（選択公理を含む集合論）では、同じ濃度を持つ順序数の最小のものを基数として割り当てる方法がありますが、ZFではその最小の順序数が存在しないことがあります。このような場合でも、スコットのトリックを使えば、濃度に基づいた代表元を定めることができます。具体的には、任意の集合Aを考え、その濃度と等しい他の集合全体を調査します。ここで、累積的階層のレベルVαが最小になることを利用します。この手法は選択公理を必要とせず、正則性公理が不可欠です。

スコットのトリックの一般的な構成

一般的なスコットのトリックでは、同値関係∼を考え、集合aに関する同値類[a]を形成します。このとき、V∩[a]が空でない場合、[a]が真クラスであっても、代わりの集合を定義できます。具体的には、Vα∩[a]が空でない最小の順序数αを見つけ、その共通部分に基づいて代替の代表元を得ることができます。この方法において正則性公理は、任意の集合aがフォン・ノイマン累積的階層の中に現れることに等しいことを利用します。結果として、正則性公理が成立する場合、すべての同値関係の同値類において代表元を得られることが成立します。

まとめ

スコットのトリックは、その独特な構造と方法論によって、集合論における同値関係や濃度の理論に新たな視点を提供します。選択公理に依存せず、正則性公理を用いることで、濃度や同型類の理解を深める重要な手法となっています。これにより、数学的議論がさらなる高みへと進むことができるのです。

もう一度検索