正則性公理

正則性公理とは

正則性公理（または基礎の公理）は、ツェルメロ＝フレンケル集合論（ZF公理系）を構成する公理の一つです。1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入されました。この公理は、集合が自己を含むような奇妙な状況を排除し、集合論の基礎をより強固なものにするために存在します。

正則性公理の定義

正則性公理は、以下のように定義されます。

空でない任意の集合 A に対して、ある要素 x が A に存在し、その x は A のどの要素とも共通部分を持たない。

この定義は、数式を用いると以下のように表現できます。

math
∀A (A ≠ ∅ ⇒ ∃x ∈ A, ∀t ∈ A (t ∉ x))


この公理は、直感的には「任意の集合は、それ自身を要素として含まない」ということを意味しています。例えば、x = {x} のような自己参照的な集合は、正則性公理によって排除されます。また、x ∈ y かつ y ∈ x のような無限降下列を持つ集合も存在しえません。

正則性公理の同値な表現

正則性公理は、ZF公理系の他の公理の下で、いくつかの同値な表現を持つことが知られています。以下はその例です。

1. 任意の空でない集合 x に対して、x と共通部分を持たない要素 y が x の中に存在する。
math
∀x ≠ ∅, ∃y ∈ x; x ∩ y = ∅


2. 任意の集合 x において、∈ (要素である) という関係が x 上で整礎関係である。

3. 集合論におけるすべての集合の集まりVは、整礎的な集合全体のクラスWFと一致する。つまり V = WF である。

これらの表現は、いずれも正則性公理の本質を捉えており、ZF公理系において相互に証明可能です。

フォン・ノイマン宇宙とWF

ZF公理系において、各順序数 α に対して、集合 R(α) を以下のように定義します。

R(0) = ∅
R(α + 1) = P(R(α)) (Pは冪集合)
α が極限順序数のとき、R(α) = ∪β<α R(β)

ここで、整礎的集合全体のクラスWFは、これらのR(α)をすべて集めたものとして定義されます。

math
WF = ∪α∈ON R(α)


ここで、ONはすべての順序数のクラスを表します。このWFは、フォン・ノイマン宇宙とも呼ばれ、正則性公理を仮定すると、集合論で扱うすべての集合はこのWFの中に含まれることになります。

正則性公理が排除するもの

正則性公理は、自己参照的な集合や無限降下列を持つ集合を排除します。具体的には、以下のような集合が存在しないことが保証されます。

x = {x} のような集合
x ∈ y かつ y ∈ x のような集合

これらの集合は、直感的に「異常」であると考えられ、正則性公理によって排除されることで、集合論の体系がより健全なものになります。

ランクの概念

集合 x が整礎的集合であるとき、x ∈ R(β+1) を満たす最小の順序数 β を、集合 x のランクと定義し、rank(x) で表します。

ランクは、集合の「複雑さ」を表す尺度と考えることができます。

ランクには以下のような性質があります。

x ∈ WF のとき、任意の α > rank(x) に対して、x ∈ R(α) が成り立つ。
x ∈ R(rank(x) + 1) かつ x ⊂ R(rank(x))。
∀α ; R(α) = {x ∈ WF | rank(x) < α}
∀x ∈ WF (rank(x) < α ⟺ ∃β < α ; x ∈ R(β + 1) ⟺ x ∈ R(α))

さらに、集合 y が WF に属するならば、x ∈ y は x ∈ WF を導き、かつ rank(x) < rank(y) が成り立ちます。また、rank(y) = α のとき、 y ∈ R(α+1) = P(R(α)) となり、 x ∈ y ならば、x ∈ R(α) = {x ∈ WF | rank(x) < α} であるため、rank(x) < α が導かれます。

まとめ

正則性公理は、集合論における重要な公理であり、自己参照的な集合や無限降下列を持つ集合を排除することで、集合論の体系をより強固なものにします。この公理は、集合の階層構造を保証し、現代数学の基礎を支える上で不可欠な役割を果たしています。ランクの概念は、集合の複雑さを測る上で有用な道具です。

参考文献

Halmos, Paul R. (2015-04-22), Naive Set Theory (paperback ed.), Benediction Classics, ISBN 978-1-78139-466-3
ポール・ハルモス『素朴集合論』富川滋 訳、ミネルヴァ書房、1975年。ISBN 4-623-00986-6。
Kunen, Kenneth (1980). Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 9780444868398

関連項目

整礎的集合
公理的集合論
集合論

外部リンク

西村敏男『集合論』 - コトバンク
* Weisstein, Eric W. "Axiom of Foundation". mathworld.wolfram.com (英語).

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