同値類

同値類とは

数学において、ある集合の要素間に同値関係が存在する場合、その集合を同値類と呼ばれるグループに分割することができます。この分割は、要素が同じ同値類に属するのは、それらの要素が互いに同値である場合に限るという規則に基づいています。

定義

集合SとS上の同値関係~が与えられたとき、要素aの同値類は、aと関係~にあるすべての要素の集合として定義されます。具体的には、次のように表されます。


{x ∈ S | x ~ a}


この同値類は、集合Sを分割し、すべての要素は必ず一つの同値類に属します。

同値類全体の集合は、Sの~による商集合と呼ばれ、S/~と表記されます。商集合は、元の集合Sが持つ構造を、同値関係によって適切に引き継ぐことがあります。

同値類に関する具体例

1. 色の同値類
すべての車の集合をXとし、「同じ色である」という関係を~とします。このとき、例えば緑色の車の同値類は、すべての緑色の車からなります。X/~は、すべての車の色の集合と見なせます。

2. 面積の同値類
平面内のすべての長方形の集合をXとし、「同じ面積を持つ」という関係を~とします。各正の実数Aに対し、面積がAの長方形全体のなす同値類が存在します。

3. 整数の同値類
整数の集合Z上で、2を法とする同値関係を考えます。つまり、x ~ y は x - y が偶数であることを意味します。この関係は、すべての偶数からなる同値類と、すべての奇数からなる同値類の2つを生じさせます。[7], [9], [1]はすべてZ/~の同じ要素を表します。

4. 有理数の同値類
0でない整数bを持つ順序対(a, b)の集合をXとし、(a, b) ~ (c, d)を ad = bc で定義します。このとき、(a, b)の同値類は有理数a/bと同一視でき、有理数の形式的な定義に利用できます。

5. 平行な直線の同値類
ユークリッド平面内のすべての直線の集合をXとし、L ~ M をLとMが平行であると定義します。このとき、平行な直線の集合が1つの同値類をなします。各同値類は無限遠点を決定します。

同値関係の定義

同値関係は、以下の3つの性質を満たす二項関係~です。

反射性: すべての要素aに対して、a ~ a である。
対称性: a ~ b ならば b ~ a である。
推移性: a ~ b かつ b ~ c ならば a ~ c である。

同値類の記法と商集合

要素aの同値類は[a]と書き、aと関係~にあるすべての要素の集合として定義されます。


[a] = {x ∈ X | a ~ x}


同値関係Rに関するXのすべての同値類からなる集合をX/Rと書き、XのRによる商集合と呼びます。XからX/Rへの各要素を同値類に写す全射は標準射影と呼ばれます。

同値類から代表元を選ぶことは、切断を定義することに対応します。代表元は、同値類の代表として使用されます。

同値類の性質

Xの任意の要素xは同値類[x]に属します。
任意の2つの同値類[x]と[y]は、等しいか互いに素かのいずれかです。
Xのすべての同値類からなる集合は、Xの分割をなし、各要素はちょうど一つの同値類に属します。
x ~ yであることと、[x] = [y]であることは同値です。
[x]と[y]が共通要素を持つならば、[x]=[y]です。

同値類のグラフ表現

同値関係は無向グラフで表現できます。グラフの頂点を集合の要素とし、s ~ t のときに頂点sとtを結びます。同値類は、このグラフにおける連結成分を表す極大クリークに対応します。

同値類の不変量

同値関係に関する不変量とは、x ~ y であるときにP(y)が真ならばP(x)も真となるような要素の性質Pです。特に、関数f: X -> Y が x1 ~ x2 ならば f(x1) = f(x2) であるとき、f は ~ に対する射と呼ばれます。関数fはそれ自身、同値関係を定義し、同値類はfの逆像になります。

位相空間論における商空間

位相空間論では、同値類全体の集合に、元の空間の位相から誘導された位相を入れたものを商空間と呼びます。抽象代数学における商代数系や群作用の軌道空間も同様に商空間と呼ばれます。

まとめ

同値類は、集合内の要素間の同値関係に基づいた分類方法であり、数学の様々な分野で重要な概念です。同値関係、商集合、不変量などの概念を理解することで、より抽象的な数学的構造を理解するための基礎を築くことができます。

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