スツルム＝リウヴィル型微分方程式

スツルム＝リウヴィル型微分方程式

概要

スツルム＝リウヴィル型微分方程式（Sturm–Liouville equation）は、19世紀の数学者ジャック・シャルル・フランソワ・スツルムとジョゼフ・リウヴィルに名を由来する、特定の形を持つ2階の実数係数の線形微分方程式です。この方程式は次のように書かれます：

$$ P(x)y'' + Q(x)y' + R(x)y = 0 $$

ここで、$y$ は解くべき関数で、$x$ は実数変数、$P(x)$、$Q(x)$、$R(x)$ は予め定められた実数係数の関数です。また、$P(x) > 0$、$w(x) > 0$ の条件が必要です。$w(x)$ は重み関数と呼ばれ、この方程式の特徴的な性質を提供します。

自明解と固有値問題

方程式の解の中で、$y = 0$ はすべての $orall x$ に対して成り立つ自明解と呼ばれますが、$
onumber ext{λ}$ の値によっては自明でない解が存在する場合もあります。このような自明でない解が存在するための条件を特定することを、スツルム＝リウヴィルの固有値問題といいます。自明でない解に対応する $ ext{λ}$ を固有値、解となる関数 $y$ を固有関数と呼ぶこともあります。

自己随伴性と境界条件

微分方程式が次のような自己随伴形式を取る場合、それをスツルム＝リウヴィル型と呼びます：

$$ rac{d}{dx}ig(P(x) rac{dy}{dx}ig) + Q(x)y + R(x)w(x) = 0 $$

一般に、任意の形の2階線形微分方程式は変数変換によりスツルム＝リウヴィル形式に書き換えることが可能です。例えば、ベッセル方程式やルジャンドルの方程式など、様々な数学的問題がこの形式に適用可能です。

スツルム＝リウヴィル理論

スツルム＝リウヴィル型の境界値問題においては、次の特性があります：固有値はすべて実数であり、離散的です。固有値のリストは最小値を持ちますが、無限に広がることがあり最大値に制限はありません。固有関数は固有値に従って一意に定まるため、異なる固有値に対応する固有関数は直交の性質を持ちます。

また、正規化された固有関数群は、変数 $x$ に対してヒルベルト空間の正規直交基底を形成します。この空間での内積は、$w(x)$ に依存して次のように定義されます：

$$ig⟨ f,g ig⟩ = ig∫_a^b f(x)g(x)w(x) dx$$

その他の関連事項

スツルム＝リウヴィル型の微分方程式を解く理論は、多くの物理的および工学的な問題に関連しています。特に量子力学や振動の理論において重要な役割を果たしています。関連書籍としては、G. Teschl の「Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems」や「Mathematical Methods in Quantum Mechanics」が挙げられます。

参考文献

• - Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society.
• - 小谷真一、俣野博（2006年）「微分方程式と固有関数展開」、岩波書店。

もう一度検索