ストークスの式

ストークスの式について

ストークスの式（英: Stokes' law）は、特に小さな粒子が流体中でどのように沈下するかを説明する理論的な公式です。この式は、粒子が流体中を落下する際の終端速度に関連しています。具体的には、粒子が重力や流体の粘性の影響を受けつつ、最終的に一定の速度に達する状況を示しています。

ストークスの式の基本形

ストークスの式は次のように表されます。

\[ v_{s} = \frac{D_{p}^{2} (\rho_{p} - \rho_{f}) g}{18 \eta} \]

ここで、\( v_{s} \) は粒子の終端速度（[m/s]または[cm/s]）、\( D_{p} \) は粒子の直径（[m]または[cm]）、\( \rho_{p} \) は粒子の密度（[kg/m³]あるいは[g/cm³]）、\( \rho_{f} \) は流体の密度（[kg/m³]または[g/cm³]）、\( g \) は重力加速度（[m/s²]または[cm/s²]）、\( \eta \) は流体の粘度（[Pa･s]または[g/(cm･s)]）をそれぞれ示します。

終端速度とは

粒子が流体内を落下する際、上向きに働く抵抗力や浮力と、下向きに働く重力が釣り合うときに達する速度が終端速度と呼ばれます。流体中の微細粒子は、落下を開始した数秒後にこの速度に到達しますが、大きな粒子では到達までにさらに多くの時間がかかります。

ストークスの式の適用条件

ストークスの式を使用するには、いくつかの条件があります。まず、粒子は理想的に球形でなければなりません。また、レイノルズ数Reが2未満である必要があります。レイノルズ数は、以下の式で計算されます。

\[ Re = \frac{D_{p} v_{s} \rho_{f}}{\eta} \]

この条件を満たさない場合、大きな粒子や不規則な形状の粒子については、ストークスの式よりもアレンの式やニュートンの式がより適切であることがよくあります。

導出の過程

ストークスの式が導かれる過程は興味深いです。流体中の球形粒子に働く抵抗力は、その速度に比例し、以下のように表現されます。

\[ F = 6 \pi \eta r v \]

ここで、\( r \) は粒子の半径、\( v \) はその速度です。一方、粒子に働く浮力と重力は次のように表されます。

\[ F_{b} = \frac{4\pi r^{3}}{3} \rho_{f} g \]
\[ F_{g} = \frac{4\pi r^{3}}{3} \rho_{p} g \]

終端速度において、これらの力は釣り合います。つまり、抵抗力と浮力の合計が重力に等しくなる関係です。

\[ 6\pi \eta r v_{s} + \frac{4\pi r^{3}}{3} \rho_{f} g = \frac{4\pi r^{3}}{3} \rho_{p} g \]

この式から終端速度\( v_{s} \)を解くと、以下の式が得られます。

\[ v_{s} = \frac{2}{9} \frac{r^{2} (\rho_{p} - \rho_{f}) g}{\eta} \]

ここで見て取れるのは、粒子の直径を\( D_{p} = 2r \)と設定することで、ストークスの式が得られるという点です。最終的に、粒子の終端速度は、流体の性質と粒子の特性に依存するのです。

関連項目

ストークスの理論は、流体力学において重要な役割を果たしており、他の多くの理論的な基盤と組み合わせて使用されることが一般的です。関連するトピックには、ジョージ・ガブリエル・ストークス、生格的なNavier-Stokes方程式、ストークス数、さらにはミリカンの油滴実験などがあります。ミリカンの実験では、電気素量の計算を行う際にストークスの式が利用されました。

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