スピン群

スピン群について

数学におけるスピン群（Spin group）とは、主に物理学や幾何学の分野で重要な役割を果たすリー群の一種です。スピン群Spin(n)は、特殊直交群SO(n)の二重被覆として構成される群であり、特に次元nが2を超えるときには単連結であるという性質を持っています。これにより、Spin(n)はSO(n)の普遍被覆とも言えます。

スピン群の基本構造

スピン群Spin(n)の数学的な構造をエレメント間の関係を使って示すと、以下のような短完全系列が存在します:

1 → Z2 → Spin(n) → SO(n) → 1

ここで、Z2は整数の二重被覆を示しており、スピン群と特殊直交群との相互作用を明確に表わしています。非常に興味深いのは、Spin(n)の次元がn(n − 1)/2であり、これは特殊直交群SO(n)の次元と一致する点です。また、Spin(n)のリー環はSO(n)のリー環と同じです。

クリフォード多元環との関係

スピン群は、クリフォード多元環Cℓ(n)の中にある乗法可逆元からなる部分群としても定義されることがあります。このクリフォード多元環は、n次元の実ユークリッド空間R^nにおける標準的な正値二次形式に関連しています。ここでは、クリフォード多元環をCℓ(n)とし、偶クリフォード多元環をCℓ0(n)と記述します。

Cℓ(n)の乗法可逆元は、Cℓ(n)×という群を形成し、さらにCℓ0(n)の乗法可逆元であるCℓ0(n)×はその部分群となります。特定の元XがCℓ(n)×に属する場合、その元Xに対する内部自己同型を次のように定義できます:

ψX : Cℓ(n) ∋ Y → XYX⁻¹ ∈ Cℓ(n)

これはCℓ(n)の内部構造を調べるための重要なツールです。

クリフォード群とそのノルム

一般クリフォード群Γ(n)に関しては、XがCℓ(n)×に含まれ、かつψX(R^n)がR^nに含まれる場合に定義されます。さらに、特殊クリフォード群Γ0(n)は、Γ(n)の中でも特別な条件を満たす部分群です。

ノルムとしての写像ν(X)は、クリフォード多元環において重要な位置を占め、次のように表現されます:

ν(X) = XJ(X)

ここで、J(X)は主逆自己同型です。このノルムの請求される特殊条件に従うことで、Spin(n)に関連した重要な特徴を引き出すことができます。特に、ノルム写像νのΓ0(n)への制限の核は、Spin(n)と等しくなります。

偶然的な同型

スピン群が古典的なリー群との間に偶然的な同型を持つことも興味深い事実です。いくつかの低次元のスピン群と古典リー群との間には特別な同型関係が存在します。具体的には以下のような関係があります:

• - Spin(1) = O(1)
• - Spin(2) = U(1)
• - Spin(3) = Sp(1) = SU(2)
• - Spin(4) = Sp(1) × Sp(1)
• - Spin(5) = Sp(2)
• - Spin(6) = SU(4)

これらの関係は特定の次元nにおいて見られますが、nが7または8になった場合、同型の存在はわずかであり、それ以上の次元においては完全に失われてしまいます。

まとめ

スピン群は、数学の中で非常に多くの側面を持ち、特に代数的・幾何学的な観点からその構造を探求することが求められます。スピン群と特殊直交群の関係、クリフォード多元環との結びつき、さらには古典リー群との偶然的な同型は、現代数学において特に注目されるテーマです。また、これら関連するテーマとして、ピン群やスピノールなども挙げられ、それぞれ独自の性質を持っています。

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