スピノール

スピノルとは

数学および物理学におけるスピノルは、空間ベクトルの概念を拡張するもので、特に直交群の理論において重要な役割を果たします。これは、ある次元における回転群の全体構造を理解するために、より高次元の空間が必要となるためです。

スピノルの特徴

スピノルは、空間の回転などの作用に伴って特定の変換を受けますが、その二次形式を用いることでベクトルを表現できます。このため、ベクトルよりもさらに基本的な量と見なされます。形式的には、スピノルは二次形式付きベクトル空間から代数的な、あるいは量子化の手続きを経て構成される幾何学的な対象として定義されます。与えられた二次形式は、スピノルの異なる型を記述することがあります。

スピノル全体の集合は、回転群の作用を持つ線型空間を形成しますが、作用の符号には曖昧さが存在します。そのため、スピノル全体の空間は回転群の射影表現を導きます。この符号の曖昧さは、スピノル全体の空間をスピン群 Spin(n) の線型表現と見なすことで解消できます。この観点からは、スピノルの代数的な性質が明確になりますが、元の空間幾何とのつながりは見えにくくなることがあります。

スピノルの発見と応用

一般のスピノルは、1913年にエリ・カルタンによって発見され、後に量子力学に応用され、電子や他のフェルミ粒子のスピン角運動量の研究に不可欠なものとなりました。量子力学では、スピノルは半整数スピンを持つフェルミ粒子の波動関数を記述するために用いられます。古典論では、三次元のスピノルが非相対論的な電子のスピンを記述し、相対論的量子力学ではディラック・スピノルが相対論的な電子の量子状態を記述します。また、場の量子論では、相対論的な多粒子系の状態を記述するためにスピノルが用いられます。

数学においては、微分幾何学および大域解析学の分野で、代数的位相幾何学、微分位相幾何学、斜交幾何学、ゲージ理論、複素代数幾何、指数定理、および特殊ホロノミーなどに対して幅広い応用がなされています。

スピノルの捉え方

スピノルの概念を捉えるには、主に二つの方法があります。

1. 群の表現による方法: この視点では、直交群のリー代数の表現には、通常のテンソル構成では得られないものが存在します。これらの表現は「スピン表現」と呼ばれ、その構成要素がスピノルです。スピノルは、回転群 SO(n, R) または不定符号特殊直交群 SO(p, q, R) の二重被覆群であるスピン群 Spin(p, q) の表現空間に属します。
2. 幾何学的な見方: スピノルを明示的に構成することで、関連するリー群の作用の下での振る舞いを理解します。このアプローチは、スピノルが何であるかの具体的な記述を提供しますが、複雑な性質を扱う際には限界があります。

クリフォード代数

クリフォード代数を用いることで、任意のスピン群のスピン表現を詳細に記述できます。クリフォード代数の分類を通して、表現間の関係が得られます。幾何代数の型を導入することで、アド・ホックな構成の必要性がほとんどなくなります。

クリフォード代数の性質を用いると、スピノルからなる既約空間の数と型を決定できます。スピノルは、複素数全体 C 上定義されたクリフォード代数 Cln(C) または実数全体 R 上定義された Clp,q(R) の基本表現の元です。いくつかのケースでは、Spin(p, q) の作用の下でスピノルが既約成分に分解されるのが確認できます。

表現論におけるスピノル

スピノルの構成の最も重要な数学的応用は、特殊直交群のリー環の線型表現（スピノル表現）を明示的に構成できることです。スピノルの存在は指数定理へのアプローチの中心であり、半単純群の離散系列表現の構成にも関わっています。

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