ソディ線

ソディ線（Soddy line）

幾何学におけるソディ線（Soddy line）は、ある特定の配置における二つのソディ円の中心を結ぶ直線として定義されます。ソディ円とは、互いに接する三つの円に接する二つの円（内部にできる小さい円と、外部を取り囲む大きい円）を指し、これらの中心を結ぶ線がソディ線と呼ばれます。

この直線は、物理学者であり化学者でもあったフレデリック・ソディによって、1936年に科学雑誌『ネイチャー』で発表されました。ソディは、互いに接する円の曲率の関係を示すデカルトの定理の特別な場合を研究する中で、この重要な幾何学的要素を発見しました。

ソディ線は、三角形の幾何学における他の基本的な直線や特異点と密接な関係を持っています。特に、三角形の中心に関連するいくつかの有名な直線との交点や、通過する点に特徴があります。

ソディ線は、オイラー線とはド・ロンシャン点（De Longchamps point、重心の鏡映点、Thomson cubic上の点としても知られる X(20)）で交わります。また、ジェルゴンヌ線とはフレッチャー点（Fletcher point、X(1323)）で交わります。さらに興味深いことに、ソディ線はジェルゴンヌ線と直交するという性質を持ちます。

これらの3本の直線、すなわちソディ線、オイラー線、そしてジェルゴンヌ線によって形成される三角形は、「オイラー・ジェルゴンヌ・ソディ三角形（Euler-Gergonne-Soddy triangle）」と呼ばれています。この三角形の頂点は、前述のド・ロンシャン点、フレッチャー点、そしてオイラー線とジェルゴンヌ線の交点であるエヴァンズ点（Evans point）から構成されます。

ソディ線は、三角形の中心に関する多くの重要な点を通過することが知られています。主な通過点としては、以下のような点が挙げられます。

内心 (Incenter, X(1))
ジェルゴンヌ点 (Gergonne point, X(7))
ド・ロンシャン点 (De Longchamps point, X(20))
ソディ点 (Soddy points, X(175), X(176))
エプシュタイン点 (Epstein points, X(481), X(482))
ロンゲ・ヒギンズ点 (Longechamps point, X(962))
フレッチャー点 (Fletcher point, X(1323))
リグビー点 (Rigby points, X(1371), X(1372))
グリフィス点 (Griffiths points, X(1373), X(1374))

これらの点通過の性質は、ソディ線が三角形の幾何学において中心的な役割を担っていることを示しています。

さらに、ソディ線はCentral lineの一種として記述することも可能です。具体的には、特定の点 X(657) に対応するCentral lineであり、三角形の三線座標を用いてその方程式を表すことができます。この方程式はやや複雑な形をしていますが、ソディ線の位置と性質を代数的に特定するものです。

ソディ線に関連する注目すべき幾何学的対象として「GEOS円」があります。GEOS円という名称は、関連する4本の線、すなわちジェルゴンヌ線（G）、オイラー線（E）、垂軸（O, orthic axis）、ソディ線（S）の頭文字に由来します。

このGEOS円は、以下の4点が同一円周上にあるという性質を持ちます。

ソディ線とオイラー線の交点（ド・ロンシャン点）
オイラー線と垂軸の交点（X(468)）
垂軸とジェルゴンヌ線の交点（X(650)）
* ジェルゴンヌ線とソディ線の交点（フレッチャー点）

垂軸とオイラー線が直交するという性質から、GEOS円の中心X(8142)は、ド・ロンシャン点とX(650)のちょうど中点に位置します。

また、GEOS円と、オイラー・ジェルゴンヌ・ソディ三角形の外接円（これをオイラー・ジェルゴンヌ・ソディ円と呼ぶことがあります）は、ソディ線を根軸として持ちます。

加えて、ド・ロンシャン点、エヴァンズ点、X(650)、そしてソディ線と垂軸の交点X(3012)という4点は、互いに垂心系を成すことが知られています。これは、これらの点のいずれか一点が他の三点によって形成される三角形の垂心となる関係です。

このように、ソディ線はソディ円の中心を結ぶという比較的単純な定義から出発しながらも、三角形の幾何学における様々な基本的な直線、特異点、円と複雑かつ美しい関係性を持つ、興味深い対象であると言えます。その性質は、現代の三角形の幾何学の研究においても重要な位置を占めています。

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