チョムスキー標準形

チョムスキー標準形について

言語理論、特に形式言語の理論において、特定の生成規則から成る文法が「チョムスキー標準形」として知られています。この文法形式は、以下のような生成規則を特徴としています。

1. 非終端記号の生成: 非終端記号 A が他の非終端記号 B と C へ生成される規則
`A → BC`
2. 終端記号への単一生成: 非終端記号 A が直接的に終端記号 α へと生成される規則
`A → α`
3. 空列の生成: 開始記号 S が空列 ε を生成する規則
`S → ε`

ここで、非終端記号 A、B、C は文法の構成要素であり、終端記号 α は文の最終的な表現を構成する記号です。また、S は文法の開始記号、ε は空列を示す記号です。これらの生成規則によって、文法は言語を構成する文字列を生成します。

チョムスキー標準形の性質

チョムスキー標準形の文法には重要な性質がいくつかあります。まず、チョムスキー標準形で表される文法は必ず「文脈自由文法」に該当します。逆に、すべての文脈自由文法は等価な形でチョムスキー標準形に変換可能であるため、非常に広範な応用が可能です。

また、文法にあたる全生成規則は「拡張的」とされ、終端記号と非終端記号から成る文字列は、生成規則を適用した際に長さが変わらないか、あるいは増加します。たとえば、長さ n の文字列を導出する場合、2n-1 回以上の生成規則を適用する必要があります。この特性により、非終端記号から生成される非終端記号の数は常に2つになり、構文木は二分木の形式で表現されます。

これにより木の深さは、最も文字列の長さに依存せず、最大でもその長さに等しくなります。これらの理論的根拠から、言語理論や計算機科学においては、証明の方法としてチョムスキー標準形がしばしば利用されます。特に、CYKアルゴリズムはチョムスキー標準形を用いて、与えられた文字列が文法によって生成可能かどうかを効率的に判断する手法として知られています。

チョムスキー標準形の命名

この標準形の名前は、著名な言語学者であるノーム・チョムスキーに由来しています。彼の理論や研究は、形式言語の理解を大いに深めました。

関連項目

• - 文脈自由文法
• - バッカス・ナウア記法
• - グライバッハ標準形

チョムスキー標準形は、形式言語理論やプログラミング言語のデザインや解析において、極めて重要な概念です。これにより、情報処理や自動化された文法解析、コンパイラの構築などにおいて革命的な進展がもたらされました。

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