テルケムの定理

テルケムの定理は、ユークリッド幾何学の分野において、円と三角形に関する興味深い共点性を示す定理です。この定理は、1842年にフランスの数学者オルリー・テルケムによって、また1853年にはドイツの数学者カール・グスタフ・ロイシュレによって、それぞれ独立に発見されました。そのため、ロイシュレの定理という別名でも知られています。この定理は、ある特定の構成によって得られる複数の直線が、一点で交わるという美しい幾何学的性質を明らかにします。

定理の内容を詳しく見てみましょう。まず、任意の三角形ABCと、その三角形の平面上にある点Dを考えます。点Dから三角形の各頂点A, B, Cを通る直線を引き、これらの直線がそれぞれの対辺BC, CA, ABと交わる点を考えます。これらの線分AD, BD, CDを、点Dに対するチェバ線と呼び、対辺との交点をそれぞれPa (BC上), Pb (CA上), Pc (AB上)とします。チェバの定理によれば、点Dが三角形の内部にある場合など特定の条件下では、これらのチェバ線APa, BPb, CPcは一点で交わります（もちろん、この交点が点Dに他なりません）。

次に、これらの3つの交点Pa, Pb, Pcを結んでできる三角形PaPbPcの外接円を考えます。この外接円は、3点Pa, Pb, Pcを通るただ一つの円です。テルケムの定理は、この外接円と、最初に引いたチェバ線とのさらなる関係に注目します。チェバ線APaは点Paでこの外接円と交わっていますが、一般的にはもう一点で外接円と交わります。このPaではない方の交点をP'aとします。同様に、チェバ線BPbと外接円とのPbではない方の交点をP'b、チェバ線CPcと外接円とのPcではない方の交点をP'cと定めます。

テルケムの定理が主張するのは、このようにして得られた新たな3点P'a, P'b, P'cを用いて作られる3本の直線AP'a, BP'b, CP'cが、驚くべきことに一点で交わる（共点である）という事実です。この定理によってその存在が保証される共点は、元の点Dの「チェバ円共役（Cyclocevian Conjugate）」と呼ばれます。つまり、点Dに対して、特定の幾何学的操作を経て得られる、三角形に関連するもう一つの特別な点がチェバ円共役として定義されるのです。

この定理は、三角形幾何学における点の共役関係や、円と直線が織りなす幾何学的配置の奥深さを示す典型的な例です。チェバの定理や他の古典的な共点性・共線性の概念と組み合わせて考察することで、より複雑な図形の性質や点間の関連性を探求する上で重要な手がかりとなります。テルケムの定理は、古典的な図形に対する深い洞察と、予期せぬ美しい幾何学的関係が存在することを示す、エレガントな結果と言えるでしょう。

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