ディラック場

ディラック場に関する詳しい解説

ディラック場とは、場の理論においてスピン1/2のフェルミ粒子を記述するためのスピノル場です。この概念は、ポール・ディラックによって相対論的量子力学の枠組みの中で導入されました。ディラック場は、物理学の根幹を成す重要な理論要素であり、その性質や方程式は粒子物理学を理解するための基礎となります。

概要

ディラック場は、4次元の時空におけるスピノル場として表されるもので、数式で表現されると以下のようになります。

$$
i[M_{\mu
u },\psi_{a}(x)]=x_{\mu}\partial_{
u}\psi_{a}-x_{
u}\partial_{\mu}\psi_{a}+i(S_{\mu
u})_{a}^{b}\psi_{b}
$$

ここで、$M_{\mu
u}$はローレンツ変換に関連する演算子で、$S_{\mu
u}$はスピン行列を表します。スピン行列は、ガンマ行列によって次のように定義されます。

$$
S_{\mu
u}={\frac {i}{4}}(\gamma_{\mu}\gamma_{
u}-\gamma_{
u}\gamma_{\mu})
$$

このスピン行列は、ディラック場の各成分に添え字を持ち、4成分のスピノルとして扱われます。ガンマ行列の表現方法によって見かけ上の成分は変化するため、ディラック場の性質は状況により柔軟に扱われます。

自由場と相互作用

自由なディラック場は、ディラック方程式に従う場として定義されます。この方程式は以下の形で表されます。

$$
i\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi - m\psi = 0
$$

ここで、$m$はディラック場に対応する粒子の質量を意味します。この方程式を導くためのラグランジアンは、以下のように表現されます。

$$
{\mathcal{L}}(\psi ,\partial\psi )=i{\bar{\psi}}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi - m{\bar{\psi}}\psi
$$

このように、ディラック場はフェルミ粒子を量子化する際に不可欠な役割を果たします。

カイラリティーの概念

4次元時空において、ガンマ行列を用いてカイラリティーが定義されます。具体的には、次のように表されています。

$$
\gamma_{5}\equiv i\gamma^{0}\gamma^{1}\gamma^{2}\gamma^{3}
$$

この行列は、次の特性を持っています。

• - $(\gamma_{5})^{\dagger} = \gamma_{5}$
• - $(\gamma_{5})^{2} = 1$
• - $\\{\gamma^{\mu},\gamma_{5}\} = 0$

この性質により、カイラリティーの値は±1で示され、左手型成分（左手系、LH）と右手型成分（右手系、RH）で区別されます。これを表すために、射影演算子を次のように定義します。

$$
P_{L}\equiv {\frac {1 - \gamma_{5}}{2}},\quad P_{R}\equiv {\frac {1 + \gamma_{5}}{2}}
$$

この射影演算子を使い、ディラック場を左手型と右手型に分解できます。これにより、元のスピノルは以下のように表されます。

$$
\psi_{L} + \psi_{R} = \psi
$$

さらに、ガンマ行列を作用させると、カイラリティーが変わることも理解できます。

ワイルスピノルの定義

ワイル表示においては、カイラリティーは次のように表され、ディラック・スピノルを2成分のワイル・スピノルに区分けします。

$$
\psi = {\begin{pmatrix}\xi \\\bar{\eta}\end{pmatrix}}
$$

このように、$c$や$\eta$はそれぞれワイル・スピノルの成分として対応します。ワイルスピノルを用いると、ディラック方程式は以下の形に簡略化されます。

$$
i\frac{\partial \bar{\eta}}{\partial t} + i\boldsymbol{\sigma} \cdot
abla \bar{\eta} - m\xi = 0
$$

$$
i\frac{\partial \xi}{\partial t} - i\boldsymbol{\sigma} \cdot
abla \xi - m\bar{\eta} = 0
$$

特に、質量がゼロの場合にはワイル方程式となり、物理学において重要な役割を果たします。

参考文献

• - 九後汰一郎『ゲージ場の量子論Ⅰ』培風館〈新物理学シリーズ〉、1989年。ISBN 978-4-563-02423-9。
• - 坂井典佑『場の量子論』裳華房〈裳華房フィジックスライブラリー〉、2002年。ISBN 4-7853-2212-8。
• - V.P.ナイア『現代的な視点からの場の量子論 基礎編』阿部泰裕, 磯暁 訳、丸善。ISBN 978-4-621-06172-5。
• - M.E.Peskin, D.V.Schroeder (1995). An Introduction to Quantum Field Theory. Westview Press. ISBN 978-0-201-50397-5。

もう一度検索