ドロー＝ファルニー線定理

ドロー＝ファルニー線定理は、三角形の特定の点と直線に関する平面幾何学の美しい定理です。この定理は、1899年にスイスの幾何学者アーノルド・ドロー＝ファルニーによって提唱されましたが、彼が最初に提示した証明には不完全な点があったとされています。

定理の内容は以下の通りです。任意の三角形ABCを考え、その3つの頂垂線の交点である垂心をHとします。次に、垂心Hを通り、互いに直交する任意の二本の直線をL1とL2とします。直線L1が三角形の辺BC, CA, ABと交わる点をそれぞれA1, B1, C1とし、同様に直線L2が辺BC, CA, ABと交わる点をそれぞれA2, B2, C2とします。このとき、対応する交点からできる三つの線分、すなわち線分A1A2、B1B2、C1C2それぞれの中心（中点）は、常に一つの直線上にあるという性質が成り立ちます。

この定理にはいくつかの興味深い発展や一般化が存在します。例えば、線分の中点だけでなく、線分を一定の比に内分または外分する点を用いても同様の共線性が成り立つことが知られています。これはフロアー・ヴァン・ラモンやクリストファー・ブラッドリーといった幾何学者によって示されています。

また、定理における「垂心」という特別な点を、三角形内部または外部の任意の点Pに置き換えた場合の類似も研究されています。点Pを通る直線L1, L2の組の中で、ドロー＝ファルニー線定理と同様の共線性を示す性質を持つ直交する二直線の組（これをPに関するDF-linesと呼ぶことがあります）は、ただ一組だけ存在することが知られています。これらのDF-linesは、三角形の三つの頂点と垂心および点Pを通る特別な外接円錐曲線の漸近線と平行になるという性質を持ちます。さらに、点Qに対して、点Pと点Pに関するDF-linesのなす角の二等分線の三線極点がQと共線となるような点Pの軌跡は、Df-Cubicと呼ばれる三次曲線を描きます。

ドロー＝ファルニー線定理によって定まる共線な三点を通る直線の包絡線、すなわちそれらの直線がなぞる図形は、三角形の外心と垂心を焦点とする楕円または双曲線となります。これはマクベス円錐曲線（MacBeath conic）として知られています。

一般化

ドロー＝ファルニー線定理は、その後の幾何学者たちによってさらに一般化されています。顕著なものとしては、ルネ・ゴールマハティヒによる一般化や、近年ではダオ・タイン・オアイによる一般化が挙げられます。

1930年にルネ・ゴールマハティヒが発表した一般化は、垂心だけでなく任意の点Pに対して成り立ちます。三角形ABCとその頂点でない任意の点Pを考えます。Pを通る任意の直線Lに対して、線分PA, PB, PCをそれぞれ直線Lに関して鏡映した直線を考えます。これらの鏡映された直線が、それぞれ辺BC, CA, ABと交わる点は、共線であるという定理です。点Pが垂心Hである場合に、ドロー＝ファルニー線定理の特別な場合（L1またはL2を通る鏡映を考えることで、直交する二直線の場合に帰着できる）が得られます。

さらに広範な一般化が、ダオ・タイン・オアイによって提示されています。彼の定理の第一の形は、三角形ABCと任意の点Pについて述べられます。中点がPと共線になるように、三角形の辺に平行でない任意の方向に平行な線分AA', BB', CC'をそれぞれ頂点A, B, Cからとります。このとき、直線PA', PB', PC'がそれぞれ辺BC, CA, ABと交わる三点は共線となります。

第二の形は、任意の円錐曲線Sと点Pに関するものです。点Pを通る三本の直線da, db, dcがそれぞれ円錐曲線Sと二点ずつ（daはAとA'、dbはBとB'、dcはCとC'）で交わるとします。このとき、点Pの円錐曲線Sに関する極線上に任意の点Dをとると、直線DA'と辺BCの交点、直線DB'と辺ACの交点、直線DC'と辺ABの交点は共線となります。このダオによる一般化された定理からは、ザスラフスキーの定理、ニクソンの定理、ブリスの定理、コリングの定理、そしてカルノーによるシムソンの定理の一般化など、様々な既存の幾何学的定理を導き出すことができます。これは、これらの定理がドロー＝ファルニー線定理と同じ深い幾何学的構造に基づいていることを示唆しています。

この他にも、Ngo Quang DuongとVu Thanh Tungによって対垂三角形を用いた一般化などが研究されており、ドロー＝ファルニー線定理とその概念は現代幾何学においても活発な研究対象となっています。

関連する概念としては、ドロー＝ファルニー円などが知られています。

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